算法題——立方體的體對角線穿過多少個正方體？

這道題是筆者當年參加競賽的題目，多年來一直未得其解，久久不能釋懷。近日，重新拿起該題細細研究，終於將其解出，著文以記之。

 

問題描述：

長方體長X，寬Y，高Z。X、Y、Z都是正整數。長方體由長1、寬1、高1的正方體堆積而成。那么長方體的體對角線穿過多少個正方體？

 

這個題考量三維空間的想象。近日研究的時候，嘗試先考量二維的情況，在求解出二維的情況下，在推廣到三維里。下面是二維情況下的問題描述

 

長方形長X，寬Y。X、Y都是正整數。長方形由長1、寬1的正方形組成。那么長方形的對角線穿過多少個正方形？

 

 

以實例說明。長方形長6，寬4。長方形由長1、寬1的正方形組成。那么長方形的對角線穿過多少個正方形？

這個還是比較簡單的，直接用圖表示即可，如下圖所示：

 

 

如上圖所示，對角線一共穿過8個正方形（灰色部分）。但是，我們不可能每個問題都畫圖表示，比如長777，寬581的長方形的解就很難畫圖表示（數字太大，不容易精確表示）。

仔細看看，這8個正方形實際上把對角線分成了8段。線段的端點是對角線和水平線（或豎直線）的交點。

於是，問題似乎可以轉化成

要求穿過多少個正方形，實際上相當於求有多少個線段

要求有多少個線段，實際上相當於求對角線和水平線和垂直線的交點的個數

 

把上圖放在平面直角坐標系中，左下角坐標為（0，0），右上角坐標為（6，4）

則對角線的直線方程為

 

 

和我們一般想象中的直線方程不太一樣。沒關系，首先這個是正確的直線方程，其次是為了和后面的三維中的直線方程的表現形式統一。

我們把對角線和水平線（或豎直線）的交點在圖上標示出來（為了后文的描述方便，我用不同顏色標示點）

 

左下角的起點用灰色標示，紅色的點標示對角線和豎直線的交點（交點的橫坐標是整數），綠色的點標示對角線和水平線的交點（交點的縱坐標是整數）

起點不算，則穿過的方塊數和線段數和點的個數一致（都是8個）。

 

紅色點的坐標（橫坐標是整數）分別是：

個數和長方形的長的數值是一致的（是6）

 

綠色點的坐標（縱坐標是整數）分別是：

個數和長方形的寬的數值是一致的（是4）

 

可以看出，紅色點和綠色點有2個點是重合的（圖上用半紅半綠的點標示），因此這些點合在一起就是如下（按照和起點的遠近來進行排序）

 

於是該問題的求解過程可以如下表示：

1、求出橫坐標是整數的點的個數，就是長方形長的數值。本題是6

2、求出縱坐標是整數的點的個數，就是長方體寬的數值。本題是4

3、求出步驟1和步驟2中重合的點的個數，也就是橫縱坐標都是整數的點的個數。本題是2

4、問題的答案：步驟1的答案+步驟2的答案-步驟3的答案。本題是6+4-2=8

 

步驟1、2、3、4中，關鍵是步驟3，如何求出步驟1和步驟2中重合的點的個數，也就是橫縱坐標都是整數的點的個數。

 

最大公約數：正整數a和b，若a能被b整除，則a是b的倍數，b是a的約數。正整數a和b中約數最大的那個稱為a和b的最大公約數，記作gcd（a，b）

 

本題中，（4，6）=2，正好是步驟3的答數，是巧合么？不是，接下來我們來證明。

 

證明：長X、寬Y的長方形，對角線經過雙整數點（橫縱坐標都是整數）的個數為gcd（X，Y）（注：不算起點）

證：令x₁=X/gcd（X，Y），y₁=Y/gcd（X，Y）。則x₁和y₁都是整數，且x₁和y₁互質（除1以外，沒有公約數）。

對角線所在的直線方程為

當x取整數時（1≤x≤X）時，要使y也是整數，則x必須取x₁的倍數（這樣才能把分母完全約掉）

而在1到X之間，x₁的倍數一共有gcd（X，Y）個

證明完畢

 

綜上所述：長方形長X，寬Y。X、Y都是正整數。長方形由長1、寬1的正方形組成。那么長方形的對角線穿過多少個正方形？

其解為：Ans=X+Y-gcd（X，Y），可以用下圖表示

 

例如：

長6，寬4的長方形的對角線穿過6+4-gcd（6，4）=6+4-2=8個正方形

長5，寬3的長方形的對角線穿過5+3-gcd（5，3）=5+3-1=7個正方形

長12，寬8的長方形的對角線穿過12+8-gcd（12，8）=12+8-4=16個正方形

 

擴展到三維。長方體長X，寬Y，高Z。X、Y、Z都是正整數。長方體由長1、寬1、高1的正方體堆積而成。那么長方體的體對角線穿過多少個正方體？

長X、寬Y、高Z的立方體的體對角線的直線方程是

這個方程雖然有點怪，但是學過空間解析幾何的都明白這個方程的正確性

 

求解的過程和二維的類似，也是找尋坐標是整數的點。可以用下圖表示：

 

 

其解為：Ans=X+Y+Z-gcd（X，Y）-gcd（X，Z）-gcd（Y，Z）+gcd（X，Y，Z）

例如：

長5，寬3，高4的長方體的體對角線穿過5+3+4-gcd（5，3）-gcd（5，4）-gcd（3，4）+gcd（5，3，4）=5+3+4-1-1-1+1=10個正方體

長8，寬6，高3的長方體的體對角線穿過8+6+3-gcd（8，6）-gcd（8，3）-gcd（6，3）+gcd（8，6，3）=8+6+3-2-1-3+1=12個正方體

長12，寬8，高6的長方體的體對角線穿過12+8+6-gcd（12，8）-gcd（12，6）-gcd（8，6）+gcd（12，8，6）=12+8+6-4-6-2+2=16個正方體

 

 

下圖是長5，寬3，高4的長方體的體對角線穿過正方體的示意圖，一共10個正方體，你看清了么？

 

 

 

這個題歷時若干年，總是百思不得其解。也是今朝靈光一閃，終於把該題解決了。也總算是一塊石頭落了地