前言
案例研究
- 正方體截面的探究
【目的】結合正方體截面設計的問題串，引導學生完成探究、發現、證明新問題的過程，積累數學探究的經驗。
【情境】用一個平面截正方體，截面的形狀將會是什么樣的?啟發學生提出逐漸深入的系列問題，引導學生進行逐漸深刻的思考。
學生可以自主或在教師引導下提出一些問題，例如：
（1）給出截面圖形的分類原則，找到截得這些形狀截面的方法，面出這些截面的示意圖。
例如，可以按照截面圖形的邊數進行分類，比如三角形，四邊形，五邊形，六邊形等等。
（2）如果截面是三角形，可以截出幾類不同的三角形?為什么？
（3）如果截面是四邊形，可以截出幾類不同的四邊形?為什么？
（4）還能截出哪些多邊形?為什么？然后進一步探討：
（5）能否截出正五邊形?為什么？
（6）能否截出直角三角形?為什么？
（7）有沒有可能截出邊數超過6的多邊形?為什么?
（8）是否存在正六邊形的截面？為什么？
最后思考：
（9）截面面積最大的三角形是什么形狀的三角形？為什么？
【分析】這是一個跨度很大的數學問題串，可以針對不同學生，設計不同的教學方式，通過多種方法實施探究。例如，
①可以通過切蘿卜塊觀察，啟發思路；
②也可以在透明的正方體盒子中注入有顏色的水，觀察不同擺放位置、不同水量時的液體表面的形狀；
還可以借助信息技術直觀快捷地展示各種可能的截面。
但是，觀察不能代替證明。探究的難點是分類找出所有可能的截面，並證明哪些形狀的截面一定存在或者一定不存在。可以鼓勵學生通過操作觀察，形成猜想，證現最證。龍這樣逐漸深入的探究過程，有利於培養學生8問題、分類討論、作圖表達、推理論證等能力，在具體情做事限升直觀想象、數學抽象、邏輯推理等素養，積累教學探的洋么、
典例剖析
①當 \(x=0\) 時， \(S\) 為矩形，其面積最大為 \(1\)；
分析：當 \(x=0\) 時， \(S\) 為矩形，其面積最大時為矩形\(ABC_1D_1\)，故最大面積為\(\sqrt{2}\)，故①錯誤；
②當 \(x=y=\cfrac{1}{2}\) 時， \(S\) 為等腰梯形；
分析：如上圖，由於\(x=y=\cfrac{1}{2}\)，容易證明\(AP=D_1Q\)，而\(PQ//AD_1\)，故截面\(S\) 為等腰梯形；故②正確；
③當 \(x=\cfrac{1}{2}\)，\(y\in(\cfrac{1}{2}, 1)\) 時, 設 \(S\) 與棱 \(C_{1}D_{1}\) 的交點為 \(R\)，則 \(RD_{1}=2-\cfrac{1}{y}\)；
分析：設 \(S\) 與棱 \(C_{1}D_{1}\) 的交點為 \(R\)，延長\(DD_1\)，使\(DD_1\cap QR=N\)，
連接\(AN\)交\(A_1D_1\)於\(T\)，連接\(TR\)，可證\(AN//PQ\)一個平面和兩個平行平面都相交，則所得的交線互相平行；\(\quad\)，
故可知\(\triangle PCQ\sim \triangle AD_1N\)，則\(\cfrac{PC}{AD}=\cfrac{CQ}{DN}=\cfrac{1}{2}\)，
即\(\cfrac{y}{DN}=\cfrac{1}{2}\)，故\(DN=2y\)，則\(D_1N=2y-1\)；
又由於\(\triangle NRD_1\sim \triangle QRC_1\)，可得\(\cfrac{C_1R}{D_1R}=\cfrac{C_1Q}{D_1N}\)，
令\(RD_1=x\)，即\(\cfrac{1-x}{x}=\cfrac{1-y}{2y-1}\)，利用合比定理，得到
\(\cfrac{1-x+x}{x}=\cfrac{1-y+2y-1}{2y-1}\)，即\(\cfrac{1}{x}=\cfrac{y}{2y-1}\)
可得\(x=RD_1=2-\cfrac{1}{y}\)，故③正確；
④當 \(y=1\) 時， 以 \(B_1\)為頂點，\(S\) 為底面的棱錐的體積為定值\(\cfrac{1}{3}\)； 其中正確的命題為_______________.
分析：當 \(y=1\) 時， 以 \(B_1\)為頂點，\(S\) 為底面的棱錐\(B_1-PC_1MA\)的體積為
\(V_{B_1-PC_1MA}=2V_{B_1-PC_1M}=2V_{P-B_1C_1M}=2\times\cfrac{1}{3}\times\cfrac{1}{2}\times 1\times 1\times 1=\cfrac{1}{3}\)，故④正確；
綜上所述，正確的命題為②③④；