平衡二叉樹(Balanced binary tree)是由阿德爾森-維爾斯和蘭迪斯(Adelson-Velskii and Landis)於1962年首先提出的，所以又稱為AVL樹。
定義：平衡二叉樹或為空樹,或為如下性質的二叉排序樹:
（1）左右子樹深度之差的絕對值不超過1;
（2）左右子樹仍然為平衡二叉樹.
平衡因子BF=左子樹深度－右子樹深度.
平衡二叉樹每個結點的平衡因子只能是1，0，-1。若其絕對值超過1，則該二叉排序樹就是不平衡的。
如圖所示為平衡樹和非平衡樹示意圖：
二、平衡二叉樹算法思想
若 向平衡二叉樹中插入一個新結點后破壞了平衡二叉樹的平衡性。首先要找出插入新結點后失去平衡的最小子樹根結點的指針。然后再調整這個子樹中有關結點之間的 鏈接關系，使之成為新的平衡子樹。當失去平衡的最小子樹被調整為平衡子樹后，原有其他所有不平衡子樹無需調整，整個二叉排序樹就又成為一棵平衡二叉樹。
失去平衡的最小子樹是指以離插入結點最近，且平衡因子絕對值大於1的結點作為根的子樹。假設用A表示失去平衡的最小子樹的根結點，則調整該子樹的操作可歸納為下列四種情況。
（1）LL型平衡旋轉法
由於在A的左孩子B的左子樹上插入結點F，使A的平衡因子由1增至2而失去平衡。故需進行一次順時針旋轉操作。 即將A的左孩子B向右上旋轉代替A作為根結點，A向右下旋轉成為B的右子樹的根結點。而原來B的右子樹則變成A的左子樹。
（2）RR型平衡旋轉法
由於在A的右孩子C 的右子樹上插入結點F，使A的平衡因子由-1減至-2而失去平衡。故需進行一次逆時針旋轉操作。即將A的右孩子C向左上旋轉代替A作為根結點，A向左下旋轉成為C的左子樹的根結點。而原來C的左子樹則變成A的右子樹。
（3）LR型平衡旋轉法
由於在A的左孩子B的右子數上插入結點F，使A的平衡因子由1增至2而失去平衡。故需進行兩次旋轉操作（先逆時針，后順時針）。即先將A結點的左孩子B的右子樹的根結點D向左上旋轉提升到B結點的位置，然后再把該D結點向右上旋轉提升到A結點的位置。即先使之成為LL型，再按LL型處理。
如圖中所示，即先將圓圈部分先調整為平衡樹，然后將其以根結點接到A的左子樹上，此時成為LL型，再按LL型處理成平衡型。
（4）RL型平衡旋轉法
由於在A的右孩子C的左子樹上插入結點F，使A的平衡因子由-1減至-2而失去平衡。故需進行兩次旋轉操作（先順時針，后逆時針），即先將A結點的右孩子C的左子樹的根結點D向右上旋轉提升到C結點的位置，然后再把該D結點向左上旋轉提升到A結點的位置。即先使之成為RR型，再按RR型處理。
如圖中所示，即先將圓圈部分先調整為平衡樹，然后將其以根結點接到A的左子樹上，此時成為RR型，再按RR型處理成平衡型。
平衡化靠的是旋轉。參與旋轉的是3個節點（其中一個可能是外部節點NULL），旋轉就是把這3個節點轉個位置。注意的是，左旋的時候p->right一定不為空，右旋的時候p->left一定不為空，這是顯而易見的。
如果從空樹開始建立，並時刻保持平衡，那么不平衡只會發生在插入刪除操作上，而不平衡的標志就是出現bf == 2或者 bf == -2的節點。
----------------------------------------------------------
刪除節點：
比如要下從下圖中刪除節點20
首先找到替換20被刪除的節點15，並將二者內容替換，如下圖所示：
然后刪除節點20得到下圖：
在刪除節點20后，節點10違反了平衡二叉樹的性質，對以10為根節點的子樹進行調整（類似於插入時，需要先做一次左旋再做一次右旋）可得下圖：
另一種情形如下圖所示：
另一種情形如下圖所示：
另一種情形如下圖所示：
