二叉樹系列 - 二叉樹里的最長路徑 例 [LeetCode] Binary Tree Maximum Path Sum

題目：

Binary Tree Maximum Path Sum

Given a binary tree, find the maximum path sum.

The path may start and end at any node in the tree.

For example:
Given the below binary tree,

 

       1
      / \
     2   3

 

Return 6.

 

節點可能為負數，尋找一條最路徑使得所經過節點和最大。路徑可以開始和結束於任何節點但是不能走回頭路。

這道題雖然看起來不同尋常，但是想一下，可以發現不外乎二叉樹的遍歷+簡單的動態規划思想。

我們可以把問題拆分開：即便最后的最大路徑沒有經過根節點，它必然也有自己的“最高點”，因此我們只要針對所有結點，求出：如果路徑把這個節點作為“最高點”，路徑最長可達多少？記為max。然后在max中求出最大值MAX即為所求結果。和“求整數序列中的最大連續子序列”一樣思路。

下面就是找各個“最高點”對應的max之間的關系了。

我們拿根節點為例，對於經過根節點的最大路徑的計算方式為：

我們找出左子樹中以左孩子為起點的最大路徑長度a，和右子樹中以右孩子為起點的最大路徑長度b。然后這個點的 max = MAX(a+b+node.val, a+node.val, b+node.val, node.val)

因此我們定義一個函數來算上面的a或者b，它的參數是一個節點，它的返回值是最大路徑長度，但是這個路徑的起點必須是輸入節點，而且路徑必須在以起點為根節點的子樹上。

那么函數func(node)的return值可以這樣定義：return MAX(func(node.left)+node.val, func(node.right)+node.val, node.val)

終止條件是node == null，直接返回0。

 

接着我們發現上述計算max 和 求出MAX的過程完全可以放到func(node) 里去。

按照這個思路的代碼，maxPathSumCore 就是上面 func(node)的實現：

/**
 * Definition for binary tree
 * struct TreeNode {
 *     int val;
 *     TreeNode *left;
 *     TreeNode *right;
 *     TreeNode(int x) : val(x), left(NULL), right(NULL) {}
 * };
 */
class Solution {
public:
    int maxPathSum(TreeNode *root) {
        maxPathSumCore(root);
        return MAX;
    }
    int maxPathSumCore(TreeNode *node) {
        if(NULL == node) return 0;
        int a = maxPathSumCore(node -> left);
        int b = maxPathSumCore(node -> right);
        if((a+b+node->val) > MAX) MAX = (a+b+node->val);
        if((a+node->val) > MAX) MAX = (a+node->val);
        if((b+node->val) > MAX) MAX = (b+node->val);
        if(node->val > MAX) MAX = node->val;

        int maxViaThisNode = ((a + node->val) > node->val ? (a + node->val) : node->val);
        return (maxViaThisNode > (b + node->val) ? maxViaThisNode : (b + node->val));
    }
private:
    int MAX= -99999999;
};

 時間復雜度 O(n)，n為總節點數。