藍橋杯官網練習系統歷屆真題詳解

歡迎評論指出錯誤，提出疑問，或者不介意給出更好的解法，有交流才有進步。

 

PREV-3(帶分數)

這道題就簡單的求1-9九個數組成的帶分數來表示數值n的個數

枚舉1-9九個數組成的全排列，然后把每種排列分成整數、分子、分母三段

然后簡單判斷以下每個帶分數是否和n相等

這里的剪枝在於枚舉整數、分子、分母分別的位數

分母的位數肯定小於等於分子的位數

整數的位數肯定小於等於n的位數

<C++> Code

#include<stdio.h>

int n,a[10],ans,len;
bool f[10];//標記是否已加入排列中

//計算a[]中從第s位起長l位的整數大小 
int getNum(int s,int l){
    int num = 0;
    for(int i = 0 ; i < l ; i++){
        num = num * 10 + a[s+i];
    }
    return num;
}

//判斷全排列中是否有組成滿足條件的帶分數 
void JudgeNum(){
    //現在枚舉帶分數 整數、分母、分子的位數 
    for(int zs = 1 ; zs <= len ; zs++){//整數的位數 
        int NumZS = getNum(0 , zs);//整數 
        int Len = 9 - zs;//分子加分母的位數 
        for(int fm = 1 ; fm <= Len/2 ; fm++){ 
            int NumFM = getNum(zs , fm);//分母 
            int fz = Len - fm;
            int NumFZ = getNum(zs + fm , fz);//分子
            if(NumFZ%NumFM == 0 && (NumZS + NumFZ/NumFM) == n)
                ans++;
        }
    }
}


//dfs遍歷1-9組成的全排列 
void dfs(int k){
    if(k == 9){//生成了一種排列 
        JudgeNum();
        return;
    }
    for(int i = 1 ; i < 10 ; i++){//枚舉第k位上的數 
        if(!f[i]){
            a[k] = i;
            f[i] = true;
            dfs(k+1);
            f[i] = false;
        }
    }
}


void work(){
    //因為全局變量自動初始化為0(false),所以省了初始化 
    int x = n;
    while(x){//求n的位數len
        len++;
        x /= 10;
    }
    dfs(0);
    printf("%d\n",ans);
}


int main()
{
    scanf("%d",&n);
    work();
    return 0;
}

我覺得在getNum()上還可以優化一下

 

PREV-9(大臣的旅費)

題目給定n個城市，n-1條路，顯然題意是要在一棵樹上求任意兩點距離的最大值

/----------------------------------接下來兩段可忽略------------------------------------/

題目沒給定n的范圍，所以貿然用Floyd來求兩點間的最短距離是不可取的

Floyd的時間復雜度為O(n^3),n隨便取大一點就很容易超時

再者，這題不需要求兩點間的最短距離，因為任意兩點間的距離都是固定的(這個可以自己想想)

 

在一棵樹上求兩點的距離，或許會想到兩點的最近公共祖先，用算法LCA來求

求任意兩點的最近祖先，得查詢C(n,2)次，時間復雜度為O(n^2) 這樣仍然不能保證全過

聽說有一種將最近公共祖先轉換成RMQ問題的時間復雜度為O(nlogn)的在線算法(可自行度娘)

當然這題也不應該用關於兩點的最近公共祖先的算法來求，在n未知的情況下，時間復雜度還是太高了

/----------------------------------以下才是關鍵------------------------------------/

題目只要求最大值，完全可以用樹形動歸來，dfs遍歷一遍所有邊就好，時間復雜度O(n)

任意取一點作為根結點，dfs深搜，從葉子節點向上動歸

DP[i]維護以i為根節點的子樹中節點i到葉子節點的最長距離

MAX[i]維護以i為根節點的子樹中經過節點i的最大兩點間距離 答案自然是MAX[]中的最大值

<C++> Code

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MAXN 100010 //不知n為多大，隨便定義了個，可以定義更大，也可以想想用vector容器 
#define LL long long

int n;
LL Dp[MAXN],Max[MAXN],ans;//全區變量自動初始化為0 
 
//鏈式前向星  
int head[MAXN],m=1;//因為head[]中元素都為0，所以m從1計數就不用初始化head[]了 
struct Edge{
    int to,next,w;
}e[MAXN];

//鏈式前向星添加邊 
void add_edge(int u,int v,int w){
    e[m].to = v;
    e[m].w = w;
    e[m].next = head[u];
    head[u] = m++;
}


bool f[MAXN];//標記節點是否已被訪問過 
void dfs(int s){
    int k = head[s];
    while(k > 0){
        int t = e[k].to;//t為s的孩子節點 
        if(!f[t]){
            f[t] = true;
            dfs(t);
            Max[s] = max(Max[s] , Dp[s] + Dp[t]+e[k].w);//以s為根節點的子樹中 經過s的最大兩點間距離
            Dp[s] = max(Dp[s] , Dp[t]+e[k].w);//s到葉子節點的最長距離 
        }
        k = e[k].next;
    }
    ans=max(ans,Max[s]);
}


void work(){
    f[1]=true;
    dfs(1);//以節點1為根節點深搜 ，深搜前標記1被訪問 
    printf("%I64d\n",ans*(21+ans)/2);
}


void init(){
    scanf("%d",&n);
    int p,q,d;
    for(int i = 1 ; i < n ; i++){
        scanf("%d%d%d",&p,&q,&d);
        add_edge(p,q,d);
        add_edge(q,p,d);//雙向邊建圖，方便dfs 
    }
}


int main()
{
    init();
    work();
    return 0;
}