[四元數叉乘]
共軛復數。
對於四元數的叉乘, 需要按如下的展開式計算:
根據上面展開式的計算，可以推導出[w1 v2][w2 v2]的計算公式:
[四元數與旋轉]
在3D程序中，通常用quaternion來計算3D物體的旋轉角度，與Matrix相比，quaternion更加高效，占用的儲存空間更小，此外也更便於插值。在數學上，quaternion表示復數w+xi+yj+zk，其中i,j,k都是虛數單位：
i*i = j*j = k*k= -1
i*j = k, j*i = -k
可以把quaternion看做一個標量和一個3D向量的組合。實部w表示標量，虛部表示向量標記為V，或三個單獨的分量（x,y,z）。所以quaternion可以記為[ w, V]或[ w，（x,y,x）]。對quaternion最大的誤解在於認為w表示旋轉角度，V表示旋轉軸。正確的理解應該是w與旋轉角度有關，v與旋轉軸有關。例如，要表示以向量N為軸，軸旋α度,相對的quaternion應該是：
q = [ cos(α/ 2) , sin(α/ 2) N]
=[ cos(α/ 2) , ( sina(α/ 2) Nx, sin(α/ 2)Ny, sin(α/ 2)Nz ) ]
為了計算方便，一般要求N為單位矢量。對quaternion來說使用四個值就能記錄旋轉，而不是Matrix所需的十六個值。為什么用quaternion來計算旋轉很方便呢?先說過quaternion是一個復數,如果你還記得一點點復數的知識,那么應該知道復數乘法(叉乘)的幾何意義實際上就是對復數進行旋轉。對最簡單的復數p= x + yi來說，和另一個復數q = ( conα，sinα)相乘，則表示把p沿逆時針方向旋轉α：
p’ = pq
當然，x+yi的形式只能表示2D變換，對3D變換來說就需要使用 quaternion了，而且計算也要復雜一點。為了對3D空間中的一個點p（x,y,z）進行旋轉，需要先把它轉換為quaternion形式p = [0, ( x, y, z)]，接下來前面討論的內容，定義q = cos(α/ 2) , sin(α/ 2) N為旋轉quaternion，這里N為單位矢量長度的旋轉軸，α為旋轉角度。那么旋轉之后的點p’則為：
p’ = qpq-1