（17）采用CRC進行差錯校驗，生成多項式為G(X)=X4+X+1，信息碼字為10111，則計算出的CRC校驗碼是 （17） 。
A．0000 B．0100 C．0010 D．1100
試題解析：
答案：（17）D
CRC（Cyclic Redundancy Check)循環冗余校驗碼 是常用的校驗碼，在早期的通信中運用廣泛，因為早期的通信技術不夠可靠（不可靠性的來源是通信技術決定的，比如電磁波通信時受雷電等因素的影響），不可靠的通信就會帶來‘確認信息’的困惑，書上提到紅軍和藍軍通信聯合進攻山下的敵軍的例子，第一天紅軍發了條信息要藍軍第二天一起進攻，藍軍收到之后，發一條確認信息，但是藍軍擔心的是‘確認信息’如果也不可靠而沒有成功到達紅軍那里，那自己不是很危險？於是紅軍再發一條‘對確認的確認信息’，但同樣的問題還是不能解決，紅軍仍然不敢冒然行動。 對通信的可靠性檢查就需要‘校驗’，校驗是從數據本身進行檢查，它依靠某種數學上約定的形式進行檢查，校驗的結果是可靠或不可靠，如果可靠就對數據進行處理，如果不可靠，就丟棄重發或者進行修復。 CRC碼是由兩部分組成，前部分是信息碼，就是需要校驗的信息，后部分是校驗碼，如果CRC碼共長n個bit，信息碼長k個bit，就稱為(n,k)碼。 它的編碼規則是： 1、首先將原信息碼(kbit)左移r位(k+r=n) 2、運用一個生成多項式g(x)（也可看成二進制數）用模2除上面的式子，得到的余數就是校驗碼。 非常簡單，要說明的：模2除就是在除的過程中用模2加，模2加實際上就是我們熟悉的異或運算，就是加法不考慮進位，公式是： 0+0=1+1=0,1+0=0+1=1 即‘異’則真，‘非異’則假。 由此得到定理：a+b+b=a 也就是‘模2減’和‘模2加’直值表完全相同。 有了加減法就可以用來定義模2除法，於是就可以用生成多項式g(x)生成CRC校驗碼。 例如： g(x)=x4+x3+x2+1,(7,3)碼,信息碼110產生的CRC碼就是： 101 11101 | 110,0000 111 01 1 0100 1 1101 1001 余數是1001，所以CRC碼是110,1001 標准的CRC碼是，CRC-CCITT和CRC-16，它們的生成多項式是： CRC-CCITT=x16+x12+x5+1 CRC-16=x16+x15+x2+1
一、CRC編碼
1、已知多項式和原報文，求CRC編碼，如：使用多項式G(x)=x^5 + x^4 + x +1,對報文10100110進行CRC編碼，則編碼后的報文是什么？
方法與步驟：
步驟1：對報文10100110，在末尾添加所給多項式的最高次階個0，如本題為x^5，則添加5個0，變為：1010011000000。
步驟2：由多項式G(x)=x^5 + x^4 + x +1，得其階數為1的二進制編碼為：110011。
步驟3：步驟1中求得的1010011000000對步驟2中求得的110011進行模二除法，所得到的余數即為校驗碼，把校驗碼添加在原報文尾部即為所求的編碼報文1010011011000，具體如下：
2.已知道接收到的CRC編碼，求原編碼或判斷是否出錯，如：已知G(x)=x^5 + x^4 + x +1，接收的為1010011011001，問是否出錯？
步驟一：由多項式G(x)=x^5 + x^4 +
x +1，得其階數為1的二進制編碼為：110011。
步驟二：用接收的報文1010011011001對步驟一的110011進行模二除法，看余數是否為0，如為0則正確，如不為0，則出錯，計算余數為1，則出錯。如下圖：
二、海明碼
1.求海明碼，如：求1011海明碼。
步驟一：求校驗碼位數r，公式為：2^r ≥r+k+1的最小r。題目中為2^3≥3+4+1,所以取r=3，即校驗碼為3位。
步驟二：畫圖，並把原碼的位編號寫成2的指數求和的方式,其中位編號長度為原碼和校驗碼個數之和，從1開始。校驗碼插在2的階碼次方的位編號下，且階小於r。如下：
原碼的位編號寫成2的指數求和：
7=2^2+2^1+2^0;
6=2^2+2^1;
5=2^2+2^0;
3=2^1+2^0;
步驟三：求校驗位，即每個校驗位的值為步驟二中“原碼的位編號寫成2的指數求和”式子中相應2的階出現的位編號下原碼的值異或。即：
r0=I4異或I2異或I1=1； (2^0次出現在7，5，3位，其對應的值為I4，I2，I1)
r1=I4異或I3異或I1=0； (2^1次出現在7，6，3位，其對應的值為I4，I3，I1)
r2=I4異或I3異或I2=0； (2^0次出現在7，6，5位，其對應的值為I4，I3，I2)
把r0,r1,r2帶入海明碼，得所求的海明碼為：1010101
2.已知海明碼，求原碼或判斷是否出錯並改正錯位，如：信息位8位的海明碼，接收110010100000時，判斷是否出錯，並求出發送端信息位。
步驟一：求校驗碼位數r，公式為：2^r ≥r+k+1的最小r。題目中為2^4≥4+8+1,所以取k=4，即校驗碼為4位。
步驟二：根據作圖，求得信息位編碼和發過來的校驗碼記為r，並由原編碼從新計算出新的校驗碼與發來的校驗碼r進行異或運算，具體如下：
得到，原碼11000100，發送來的校驗碼r為1000
再根據求R，把原碼的位編號寫成2的指數求和：
12=2^3+2^2；
11=2^3+2^1+2^0;
10=2^3+2^0;
9=2^3+2^0;
7=2^2+2^1+2^0;
6=2^2+2^1;
5=2^2+2^0;
3=2^1+2^0;
求得：
S3=r3異或(I8異或I7異或I6異或I5)
S2=r2異或(I8異或I4異或I3異或I2)
S1=r1異或(I7異或I6異或I4異或I3異或I1)
S0=r0異或(I7異或I5異或I4異或I2異或I1)
S3S2S1S0,其十進制為0，表示沒出錯，如果不為零，則其十進制數即為出錯的位。
本題S3S2S1S0=1001，十進制為9，即第九位出錯。改過來既為：11010100
注：不管用海明還是CRC編碼，如果不是有必要或學密碼學，不用想辦法搞清原理，就拿它當像勾股定理一樣使用就ok，否則，對一般來講，的確有點痛苦。