四則運算表達式
一種不需要括號的后綴表達法，我們把它稱為逆波蘭（Reverse Polish Notation ， RPN）表示。它將復雜表達式轉換為可以依靠簡單的操作得到計算結果的表達式，解決了四則運算中括號改變運算符優先級的問題。
我們先來看看，對於"9+(3-1)×3+10÷2"，如果要用后綴表示法應該是什么樣子：“9 3 1 - 3 * + 10 2 / +” ，這樣的表達式稱為后綴表達式，叫后綴的原因在於所有的符號都是在要運算數字的后面出現。
一.后綴表達式計算結果
為了解釋后綴表達式的好處，我們先來看看，計算機如何應用后綴表達式計算出最終的結果20的。
后綴表達式：9 3 1 - 3 * + 10 2 / +
規則：從左到右遍歷表達式的每個數字和符號，遇到是數字就進棧，遇到是符號，就將處於棧頂兩個數字出棧，進行運算，運算結果進棧，一直到最終獲得結果。
1.初始化一個空棧。此棧用來對要運算的數字進行使用。如圖1左圖所示。
2.后綴表達式中前三個都是數字，所以9、3、1進棧，如圖1右圖所示。
圖1
3.接下來是“-” ， 所以將棧中的1出棧作為減數，3出棧作為被減數，並運算3-1得到2，再將2進棧，如圖2左圖所示。
4.接着是數字3進棧，如圖2右圖所示。
圖2
5.后面是“*” ， 也就意味着棧中3和2出棧，2與3相乘，得到6，並將6進棧，如圖3左圖所示。
6.下面是“+” ， 所以棧中6和9出棧，9與6相加，得到15，將15出棧，如圖3右圖所示。
圖3
7.接着是10與2兩數字進棧，如圖4左圖所示。
8.接下來是符號“/” ， 因此，棧頂的2與10出棧，10與2相除，得到5，將5進棧，如圖4右圖所示。
圖4
9.最后一個是符號“+” ， 所以將15與5出棧並相加，得到20，將20進棧，如圖5左圖所示。
10.結果是20出棧，棧變為空，如圖5右圖所示。
圖5
果然，后綴表達式可以很順利解決計算的問題。
二.中綴表達式轉后綴表達式
我們把平時所用的標准四則運算表達式，即“9+(3-1)×3+10÷2”叫做中綴表達式。因為所有的運算符號都在兩數字的中間。
中綴表達式 “9+(3-1)×3+10÷2” 轉化為后綴表達式 “9 3 1 - 3 * + 10 2 / +” 。
規則：從左到右遍歷中綴表達式的每個數字和符號，若是數字就輸出，即成為后綴表達式的一部分；若是符號，則判斷其與棧頂符號的優先級，是右括號或優先級低於棧頂符號（乘除優先加減）則棧頂元素依次出棧並輸出，並將當前符號進棧，一直到最終輸出后綴表達式為止。
1.初始化一空棧，用來對符號進出棧使用。如圖6左圖所示。
2.第一個字符是數字9，輸出9，后面是符號“+”，進棧。如圖6的右圖所示。
圖6
3.第三個字符時“（” ， 依然是符號，因其只是左括號，還沒配對，故進棧。如圖7左圖所示。
4.第四個字符是數字3，輸出，總表達式為9 3，接着是“—”，進棧。如圖7右圖所示。
圖7
5.接下來是數字1，輸出，總表達式為9 3 1，后面是符號“)” ， 此時，我們需要去匹配此前的“(” ， 所以棧頂依次出棧，並輸出，直到“(”出棧為止。此時左括號上方只有“—” ， 因此輸出“—”。總的輸出表達式為9 3 1 — 。如圖8左圖所示。
6.緊接着是符號“×” ，因為此時的棧頂符號為“+”號，優先級低於“×” ，因此不輸出，“*”進棧。接着是數字3，輸出，總的表達式為 9 3 1 — 3 。 如圖8右圖所示。
圖8
7.之后是符號“+” ，此時當前棧頂元素“*”比這個“+”的優先級高，因此棧中元素出棧並輸出（沒有比“+”號更低的優先級，所以全部出棧），總輸出表達式為9 3 1 — 3 * + 。然后將當前這個符號“+”進棧。也就是說，前6張圖的棧底的“+”是指中綴表達式中開頭的9后面那個“+” ，而圖9左圖中的棧底（也是棧頂）的“+”是指“9+(3-1)×3+”中的最后一個“+”。
8.緊接着數字10，輸出，總表達式變為9 3 1 — 3 * + 10 。 后是符號“÷” ，所以“/”進棧。如圖9右圖所示。
圖9
9.最后一個數字2，輸出，總的表達式為9 3 1 — 3 * + 10 2 。如圖10左圖所示。
10.因已經到最后，所以將棧中符號全部出棧並輸出。最終輸出的后綴表達式結果為 9 3 1 — 3 * + 10 2 / + 。如圖10右圖所示。
圖10
從剛才的推導中會發現，要想讓計算機具有處理我們通常的標准（中綴）表達式的能力，最重要的就是兩步：
- 將中綴表達式轉化為后綴表達式（棧用來進出運算的符號）。
- 將后綴表達式進行運算得出結果（棧用來進出運算的數字）。