上一篇簡單介紹了下Prolog的一些基本概念，今天我們來利用這些基本概念解決兩個問題：數獨和八皇后問題。
數獨
數獨是一個很經典的游戲：
玩家需要根據n×n盤面上的已知數字，推理出所有剩余空格的數字，並滿足每一行、每一列、每一個粗線宮內的數字均含1-n，不重復。
當然數獨的階有很多，9×9是最常見的，我們就以它做例子。在用Prolog解決之前先想想如果我們用C#或Java來做或怎么做？無非就是數據結構加算法，我們先得用一個數據結構表示數獨，然后我們要在這個數據結構上“施加”算法進行求解。采用Prolog的第一步是相同的，我們得找一個數據結構表示數獨，毫無疑問在Prolog中我們只能選擇列表或元組，這里列表是更好的選擇，因為列表可以進行[Head|Tail]解析，后面你就知道為什么了。我們像下面這樣表示一個數獨：
[_, 6, _, 5, 9, 3, _, _, _, 9, _, 1, _, _, _, 5, _, _, _, 3, _, 4, _, _, _, 9, _, 1, _, 8, _, 2, _, _, _, 4, 4, _, _, 3, _, 9, _, _, 1, 2, _, _, _, 1, _, 6, _, 9, _, 8, _, _, _, 6, _, 2, _, _, _, 4, _, _, _, 8, _, 7, _, _, _, 7, 8, 5, _, 1, _]
“_”代表未知的數字，需要玩家填空的地方。
接下來的步驟跟命令式語言就截然不同了，我們不是描述算法，而是要描述數獨這個游戲的規則：
- 給定玩家一個9×9的盤面，玩家填充完所有的空格后最終的解仍然是這個9×9的盤面；
- 填充完空格后，每一個空格內的數字均在1~9之內；
- 填充完空格后，每一行9個數字各不相同；
- 填充完空格后，每一列9個數字各不相同；
- 填充完空格后，每一個宮格內的數字各不相同。
Ok，這就是整個游戲的規則。你可能覺得第一條規則沒什么用，實際上第一條規則定義了“解”的形式，就像在C#中我們確定了方法的簽名一樣：
sudoku(Puzzle,Solution):- Solution = Puzzle.
事實上這個規則已經可以工作了：
| ?- sudoku([1,2,3,4,5,6,7,8,9, 1,2,3,4,5,6,7,8,9, 1,2,3,4,5,6,7,8,9, 1,2,3,4,5,6,7,8,9, 1,2,3,4,5,6,7,8,9, 1,2,3,4,5,6,7,8,9, 1,2,3,4,5,6,7,8,9, 1,2,3,4,5,6,7,8,9, 1,2,3,4,5,6,7,8,9],Solution). Solution = [1,2,3,4,5,6,7,8,9,1,2,3,4,5,6,7,8,9,1,2,3,4,5,6,7,8,9,1,2,3,4,5,6,7,8,9,1,2,3,4,5,6,7,8,9......
當然這只是第一步，這個規則對於輸入的數獨形式沒有任何限制，事實上可以是任意的列表,Prolog都返回yes：
| ?- sudoku([1,2,3],Solution). Solution = [1,2,3] yes
我們需要規定下數獨的形式：
sudoku(Puzzle,Solution):- Solution = Puzzle, Puzzle = [S11,S12,S13,S14,S15,S16,S17,S18,S19, S21,S22,S23,S24,S25,S26,S27,S28,S29, S31,S32,S33,S34,S35,S36,S37,S38,S39, S41,S42,S43,S44,S45,S46,S47,S48,S49, S51,S52,S53,S54,S55,S56,S57,S58,S59, S61,S62,S63,S64,S65,S66,S67,S68,S69, S71,S72,S73,S74,S75,S76,S77,S78,S79, S81,S82,S83,S84,S85,S86,S87,S88,S89, S91,S92,S93,S94,S95,S96,S97,S98,S99].
| ?- sudoku([1,2,3],Solution). no
我們接着看第二條規則：“填充完空格后，每一個空格內的數字均在1~9之內” 。上一篇文章中我們介紹了Prolog中有一個內置謂詞叫fd_domain，這時候就可以派上用場了：
sudoku(Puzzle,Solution):- Solution = Puzzle, Puzzle = [S11,S12,S13,S14,S15,S16,S17,S18,S19, S21,S22,S23,S24,S25,S26,S27,S28,S29, S31,S32,S33,S34,S35,S36,S37,S38,S39, S41,S42,S43,S44,S45,S46,S47,S48,S49, S51,S52,S53,S54,S55,S56,S57,S58,S59, S61,S62,S63,S64,S65,S66,S67,S68,S69, S71,S72,S73,S74,S75,S76,S77,S78,S79, S81,S82,S83,S84,S85,S86,S87,S88,S89, S91,S92,S93,S94,S95,S96,S97,S98,S99], fd_domain(Puzzle,1,9).
好了現在我們只能輸入9×9並且每個每個位置上只能是1~9之間的數的列表了。
好了，現在到整個游戲的關鍵規則，事實上2,3,4這三個規則才決定了數獨的難度，1,2只不過是基礎，我們來統一考慮這三個問題。這里其實比想象的簡單多了。我們首先要做的就是需要定義出來行、列、宮格：
Row1 = [S11,S12,S13,S14,S15,S16,S17,S18,S19], Row2 = [S21,S22,S23,S24,S25,S26,S27,S28,S29], Row3 = [S31,S32,S33,S34,S35,S36,S37,S38,S39], Row4 = [S41,S42,S43,S44,S45,S46,S47,S48,S49], Row5 = [S51,S52,S53,S54,S55,S56,S57,S58,S59], Row6 = [S61,S62,S63,S64,S65,S66,S67,S68,S69], Row7 = [S71,S72,S73,S74,S75,S76,S77,S78,S79], Row8 = [S81,S82,S83,S84,S85,S86,S87,S88,S89], Row9 = [S91,S92,S93,S94,S95,S96,S97,S98,S99], Col1 = [S11,S21,S31,S41,S51,S61,S71,S81,S91], Col2 = [S12,S22,S32,S42,S52,S62,S72,S82,S92], Col3 = [S13,S23,S33,S43,S53,S63,S73,S83,S93], Col4 = [S14,S24,S34,S44,S54,S64,S74,S84,S94], Col5 = [S15,S25,S35,S45,S55,S65,S75,S85,S95], Col6 = [S16,S26,S36,S46,S56,S66,S76,S86,S96], Col7 = [S17,S27,S37,S47,S57,S67,S77,S87,S97], Col8 = [S18,S28,S38,S48,S58,S68,S78,S88,S98], Col9 = [S19,S29,S39,S49,S59,S69,S79,S89,S99], Square1 = [S11,S12,S13,S21,S22,S23,S31,S32,S33], Square2 = [S14,S15,S16,S24,S25,S26,S34,S35,S36], Square3 = [S17,S18,S19,S27,S28,S29,S37,S38,S39], Square4 = [S41,S42,S43,S51,S52,S53,S61,S62,S63], Square5 = [S44,S45,S46,S54,S55,S56,S64,S65,S66], Square6 = [S47,S48,S49,S57,S58,S59,S67,S68,S69], Square7 = [S71,S72,S73,S81,S82,S83,S91,S92,S93], Square8 = [S74,S75,S76,S84,S85,S86,S94,S95,S96], Square9 = [S77,S78,S79,S87,S88,S89,S97,S98,S99],
上一篇文章中我還提到一個謂詞叫fd_all_different:檢查列表中是否有重復元素，接下來我們只要證明每一列，每一行，每一個宮格列表內沒有重復元素就可以了：
fd_all_different(Row1),
fd_all_different(Row2),
……
fd_all_different(Col1),
fd_all_different(Col2),
……
fd_all_different(Square1),
fd_all_different(Square2),
……
其實到此這個解數獨的程序已經結束了，不過最后這幾行代碼太土了，我們可以采用用遞歸“優化”下，像下面這樣：
valid([]). valid([Head|Tail]):- fd_all_different(Head), valid(Tail).
valid([Row1,Row2,Row3,Row4,Row5,Row6,Row7,Row8,Row9,
Col1,Col2,Col3,Col4,Col5,Col6,Col7,Col8,Col9,
Square1,Square2,Square3,Square4,Square5,Square6,Square7,Square8,Square9]).
不管你信不信，我們已經搞定了，最終完整的代碼如下：
valid([]). valid([Head|Tail]):- fd_all_different(Head), valid(Tail). sudoku(Puzzle,Solution):- Solution = Puzzle, Puzzle = [S11,S12,S13,S14,S15,S16,S17,S18,S19, S21,S22,S23,S24,S25,S26,S27,S28,S29, S31,S32,S33,S34,S35,S36,S37,S38,S39, S41,S42,S43,S44,S45,S46,S47,S48,S49, S51,S52,S53,S54,S55,S56,S57,S58,S59, S61,S62,S63,S64,S65,S66,S67,S68,S69, S71,S72,S73,S74,S75,S76,S77,S78,S79, S81,S82,S83,S84,S85,S86,S87,S88,S89, S91,S92,S93,S94,S95,S96,S97,S98,S99], fd_domain(Puzzle,1,9), Row1 = [S11,S12,S13,S14,S15,S16,S17,S18,S19], Row2 = [S21,S22,S23,S24,S25,S26,S27,S28,S29], Row3 = [S31,S32,S33,S34,S35,S36,S37,S38,S39], Row4 = [S41,S42,S43,S44,S45,S46,S47,S48,S49], Row5 = [S51,S52,S53,S54,S55,S56,S57,S58,S59], Row6 = [S61,S62,S63,S64,S65,S66,S67,S68,S69], Row7 = [S71,S72,S73,S74,S75,S76,S77,S78,S79], Row8 = [S81,S82,S83,S84,S85,S86,S87,S88,S89], Row9 = [S91,S92,S93,S94,S95,S96,S97,S98,S99], Col1 = [S11,S21,S31,S41,S51,S61,S71,S81,S91], Col2 = [S12,S22,S32,S42,S52,S62,S72,S82,S92], Col3 = [S13,S23,S33,S43,S53,S63,S73,S83,S93], Col4 = [S14,S24,S34,S44,S54,S64,S74,S84,S94], Col5 = [S15,S25,S35,S45,S55,S65,S75,S85,S95], Col6 = [S16,S26,S36,S46,S56,S66,S76,S86,S96], Col7 = [S17,S27,S37,S47,S57,S67,S77,S87,S97], Col8 = [S18,S28,S38,S48,S58,S68,S78,S88,S98], Col9 = [S19,S29,S39,S49,S59,S69,S79,S89,S99], Square1 = [S11,S12,S13,S21,S22,S23,S31,S32,S33], Square2 = [S14,S15,S16,S24,S25,S26,S34,S35,S36], Square3 = [S17,S18,S19,S27,S28,S29,S37,S38,S39], Square4 = [S41,S42,S43,S51,S52,S53,S61,S62,S63], Square5 = [S44,S45,S46,S54,S55,S56,S64,S65,S66], Square6 = [S47,S48,S49,S57,S58,S59,S67,S68,S69], Square7 = [S71,S72,S73,S81,S82,S83,S91,S92,S93], Square8 = [S74,S75,S76,S84,S85,S86,S94,S95,S96], Square9 = [S77,S78,S79,S87,S88,S89,S97,S98,S99], valid(Row1,Row2,Row3,Row4,Row5,Row6,Row7,Row8,Row9, Col1,Col2,Col3,Col4,Col5,Col6,Col7,Col8,Col9, Square1,Square2,Square3,Square4,Square5,Square6,Square7,Square8,Square9).
反正我信了，我們來試試吧，就以上面我從百度上找到的那個圖為例：
| ?- sudoku([_, 6, _, 5, 9, 3, _, _, _, 9, _, 1, _, _, _, 5, _, _, _, 3, _, 4, _, _, _, 9, _, 1, _, 8, _, 2, _, _, _, 4, 4, _, _, 3, _, 9, _, _, 1, 2, _, _, _, 1, _, 6, _, 9, _, 8, _, _, _, 6, _, 2, _, _, _, 4, _, _, _, 8, _, 7, _, _, _, 7, 8, 5, _, 1, _],Solution). Solution = [7,6,2,5,9,3,1,4,8,9,4,1,2,7,8,5,3,6,8,3,5,4,6,1,7,9,2,1,9,8,6,2,7,3,5,4,4,7,6,3,5,9,2,8,1,2,5,3,8,1,4,6,7,9,3,8,7,1,4,6,9,2,5,5,1,4,9,3,2,8,6,7,6,2,9,7,8,5,4,1,3]
美化后的結果是這樣的：
[7,6,2,5,9,3,1,4,8, 9,4,1,2,7,8,5,3,6, 8,3,5,4,6,1,7,9,2, 1,9,8,6,2,7,3,5,4, 4,7,6,3,5,9,2,8,1, 2,5,3,8,1,4,6,7,9, 3,8,7,1,4,6,9,2,5, 5,1,4,9,3,2,8,6,7, 6,2,9,7,8,5,4,1,3]
Perfect!
八皇后問題
Ok，有了數獨問題作為鋪墊，下面看八皇后問題應該就應該沒那么難了，請保持用Prolog思考問題的方式，解決后你會發現Prolog真是這方面的“專家”，Let's Go!
八皇后問題也是一個非常經典的問題：
八皇后問題是一個以國際象棋為背景的問題：如何能夠在 8×8 的國際象棋棋盤上放置八個皇后，使得任何一個皇后都無法直接吃掉其他的皇后？為了達到此目的，任兩個皇后都不能處於同一條橫行、縱行或斜線上。
老套路我們先描述游戲規則。
- 每個皇后有一個行號和列號，行號和列號的取值范圍在1~8之間；
- 一個棋盤上有八個皇后；
- 任意兩個皇后不可以共享一行；
- 任意兩個皇后不可以共享一列；
- 任意兩個皇后不可以在同一個對角線上（左下角->右上角）；
- 任意兩個皇后不可以在同一個對角線上（右下角->左上角）。
在了解規則之后我們梳理一下這個問題，對照上面這個圖：
我們給棋盤上每一個位置設定一個坐標(x,y)，八個皇后的坐標分別為(x1,y1)，(x2,y2)……我們以回溯的角度看問題，假設如圖已經得到了最后解，那么這8個坐標滿足：x1，x2……各不相同，y1，y2……個不相同，找出(x1,y1)，(x2,y2)……中屬於對角線1上的和對角線2上的位置，它們坐標應該個不相同。
(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(1,7),(1,8) (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(2,7),(2,8) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(3,7),(3,8) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(4,7),(4,8) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(5,7),(5,8) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),(6,7),(6,8) (7,1),(7,2),(7,3),(7,4),(7,5),(7,6),(7,7),(7,8) (8,1),(8,2),(8,3),(8,4),(8,5),(8,6),(8,7),(8,8)
所以整個問題的難點在於給定類似下面這樣一個列表，我們需要找出其中的所有的行號，列號，和在對角線上的坐標：
[(1,1),(1,5),(2,5),(2,2),(8,8),(4,4),(4,5),(5,4)]
找出行號和列號稍微簡單點，這里直接給出答案，大家也可以自己思考下：
rows([],[]). rows([(Row,_)|QueensTail],[Row|RowsTail]):- rows(QueensTail,RowsTail).
cols([],[]). cols([(_,Col)|QueensTail],[Col|ColsTail]):- cols(QueensTail,ColsTail).
把上面的列表代進去簡單驗證下：
| ?- rows([(1,1),(1,5),(2,5),(2,2),(8,8),(4,4),(4,5),(5,4)],Rows). Rows = [1,1,2,2,8,4,4,5] yes
| ?- cols([(1,1),(1,5),(2,5),(2,2),(8,8),(4,4),(4,5),(5,4)],Cols). Cols = [1,5,5,2,8,4,5,4] yes
關鍵是如何驗證對角線上的元素，而且兩條對角線是不一樣的，提醒下因為我們最后會還是會利用fd_all_different這個謂詞。
好吧，我們回過頭觀察下上面那個棋盤的坐標圖（注意我標紅的地方），有沒有發現什么規則呢？
- 左上角到右下角的對角線上的元素：所有坐標的橫坐標-縱坐標都相同，等於0；
- 左下角到右上角的對角線上的元素：所有坐標的橫坐標+縱坐標都相同，等於9；
OK，我們可以定義下面這樣兩個謂詞diags1和diags2：
diags1([],[]). diags1([(Row,Col)|QueensTail],[Diagonal|DiagonalsTail]):- Diagonal is Col - Row, diags1(QueensTail,DiagonalsTail).
diags2([],[]). diags2([(Row,Col)|QueensTail],[Diagonal|DiagonalsTail]):- Diagonal is Col + Row, diags2(QueensTail,DiagonalsTail).
我們可以簡單驗證下：
| ?- diags1([(2,2),(8,8)],Diags1). Diags1 = [0,0] yes
| ?- diags2([(4,5),(5,4)],Diags2).
Diags2 = [9,9]
yes
如果坐標在對角線上，那么抓取到的列表元素都是相等的。
好了，到目前為止我們已經完成了最難的部分，剩下的都是一些驗證性工作。我們最終的“程序入口”應該是這樣的：
eight_queens([(X1,Y1),(X2,Y2),(X3,Y3),(X4,Y4),(X5,Y5),(X6,Y6),(X7,Y7),(X8,Y8)])
我們還需要一些驗證性工作：
1.給定列表里的皇后是不是合法的，即橫縱坐標都在1~8之內，這用到了我上一篇中提到的member謂詞：
valid_queen((Row,Col)):- Range = [1,2,3,4,5,6,7,8], member(Row,Range),member(Col,Range).
2.驗證給定的列表是不是八個皇后，這里用到一個length謂詞，顧名思義：
length(Board,8).
3.需要遞歸的驗證給定的列表中的每個元素是不是“皇后”：
valid_board([]).
valid_board([Head|Tail]):- valid_queen(Head),valid_board(Tail).
Ok，下面就是八皇后問題的答案的完整代碼：
valid_queen((Row,Col)):- Range = [1,2,3,4,5,6,7,8], member(Row,Range),member(Col,Range). valid_board([]). valid_board([Head|Tail]):- valid_queen(Head),valid_board(Tail). rows([],[]). rows([(Row,_)|QueensTail],[Row|RowsTail]):- rows(QueensTail,RowsTail). cols([],[]). cols([(_,Col)|QueensTail],[Col|ColsTail]):- cols(QueensTail,ColsTail). diags1([],[]). diags1([(Row,Col)|QueensTail],[Diagonal|DiagonalsTail]):- Diagonal is Col - Row, diags1(QueensTail,DiagonalsTail). diags2([],[]). diags2([(Row,Col)|QueensTail],[Diagonal|DiagonalsTail]):- Diagonal is Col + Row, diags2(QueensTail,DiagonalsTail). eight_queens(Board) :- length(Board,8), valid_board(Board), rows(Board,Rows), cols(Board,Cols), diags1(Board,Diags1), diags2(Board,Diags2), fd_all_different(Rows), fd_all_different(Cols), fd_all_different(Diags1), fd_all_different(Diags2).
沒錯，答案已經出來，但事實上上面這個程序運行的非常慢，我在我i7的筆記本上的GNU Prolog中執行下面這個問題，半天沒有響應：
| ?- eight_queens([(X1,Y1),(X2,Y2),(X3,Y3),(X4,Y4),(X5,Y5),(X6,Y6),(X7,Y7),(X8,Y8)]).
其實我們可以對這個問題進行一個簡化。我們可以肯定棋盤上八行每行肯定有一個皇后，又因為互不能在一行，因此我們假設八皇后的坐標分別為：(1,A),(2,B),(3,C),(4,D),(5,E),(6,F),(7,G),(8,H)。那么我們可以對上面的代碼進行優化，去掉所有對行的操作，優化后代碼如下：
valid_queen((Row,Col)):- member(Col,[1,2,3,4,5,6,7,8]). valid_board([]). valid_board([Head|Tail]):- valid_queen(Head),valid_board(Tail). cols([],[]). cols([(_,Col)|QueensTail],[Col|ColsTail]):- cols(QueensTail,ColsTail). diags1([],[]). diags1([(Row,Col)|QueensTail],[Diagonal|DiagonalsTail]):- Diagonal is Col - Row, diags1(QueensTail,DiagonalsTail). diags2([],[]). diags2([(Row,Col)|QueensTail],[Diagonal|DiagonalsTail]):- Diagonal is Col + Row, diags2(QueensTail,DiagonalsTail). eight_queens(Board) :- Board = [(1,_),(2,_),(3,_),(4,_),(5,_),(6,_),(7,_),(8,_)], length(Board,8), valid_board(Board), cols(Board,Cols), diags1(Board,Diags1), diags2(Board,Diags2), fd_all_different(Cols), fd_all_different(Diags1), fd_all_different(Diags2).
然后這樣問問題：
eight_queens([(1,Y1),(2,Y2),(3,Y3),(4,Y4),(5,Y5),(6,Y6),(7,Y7),(8,Y8)]).
| ?- eight_queens([(1,Y1),(2,Y2),(3,Y3),(4,Y4),(5,Y5),(6,Y6),(7,Y7),(8,Y8)]). Y1 = 1 Y2 = 5 Y3 = 8 Y4 = 6 Y5 = 3 Y6 = 7 Y7 = 2 Y8 = 4 ? a Y1 = 1 Y2 = 6 Y1 = 2 Y2 = 7 Y3 = 3 Y4 = 6 Y5 = 8 Y7 = 6 Y8 = 3 Y1 = 2 Y2 = 8 Y3 = 6 Y4 = 1 Y5 = 3 Y6 = 5 Y7 = 7 Y8 = 4 Y1 = 3 Y2 = 1 Y3 = 7 Y4 = 5 Y5 = 8 Y6 = 2 Y7 = 4 Y8 = 6 …… Y1 = 8 Y2 = 3 Y3 = 1 Y4 = 6 Y5 = 2 Y6 = 5 Y7 = 7 Y8 = 4 Y1 = 8 Y2 = 4 Y3 = 1 Y4 = 3 Y5 = 6 Y6 = 2 Y7 = 7 Y8 = 5 (81860 ms) no
?后跟a可以一次性詢問所有答案，可以看到還是相當的慢，這也算是聲明式語言的一個劣勢吧。
好了，今天介紹的兩個問題就到此結束了。問題本身並不是重點，重點是我們思考問題的方式。
最后提供：源代碼下載，希望大家可以喜歡Prolog這門小巧簡單，功能強大的語言。