BZOJ 1005 [HNOI2008] 明明的煩惱（組合數學 Purfer Sequence）

 

題目大意

 

自從明明學了樹的結構，就對奇怪的樹產生了興趣......

給出標號為 1 到 N 的點，以及某些點最終的度數，允許在任意兩點間連線，可產生多少棵度數滿足要求的樹？

 

Input

　　第一行為 N(0<N<=1000)，接下來 N 行，第 i+1 行給出第 i 個節點的度數 Di，如果對度數不要求，則輸入 -1

Output

　　一個整數，表示不同的滿足要求的樹的個數，無解輸出 0

 

做法分析

 

這題需要了解一種數列： Purfer Sequence

我們知道，一棵樹可以用括號序列來表示，但是，一棵頂點標號（1~n）的樹，還可以用一個叫做 Purfer Sequence 的數列表示

一個含有 n 個節點的 Purfer Sequence 有 n-2 個數，Purfer Sequence 中的每個數是 1~n 中的一個數

 

一個定理：一個 Purfer Sequence 和一棵樹一一對應

 

先看看怎么由一個樹得到 Purfer Sequence

由一棵樹得到它的 Purfer Sequence 總共需要 n-2 步，每一步都在當前的樹中尋找具有最小標號的葉子節點（度為 1），將與其相連的點的標號設為 Purfer Sequence 的第 i 個元素，並將此葉子節點從樹中刪除，直到最后得到一個長度為 n-2 的 Purfer Sequence 和一個只有兩個節點的樹

 

看看下面的例子：

假設有一顆樹有 5 個節點，四條邊依次為：(1, 2), (1, 3), (2, 4), (2, 5)，如下圖所示：

第 1 步，選取具有最小標號的葉子節點 3，將與它相連的點 1 作為第 1 個 Purfer Number，並從樹中刪掉節點 3：

第 2 步，選取最小標號的葉子節點 1，將與其相連的點 2 作為第 2 個 Purfer Number，並從樹中刪掉點 1：

第 3 步，選取最小標號的葉子節點 4，將與其相連的點 2 作為第 3 個 Purfer Number，並從樹中刪掉點 4：

最后，我們得到的 Purfer Sequence 為：1 2 2

不難看出，上面的步驟得到的 Purfer Sequence 具有唯一性，也就是說，一個樹，只能得到一個唯一的 Purfer Sequence

 

接下來看，怎么由一個 Purfer Sequence 得到一個樹

由 Purfer Sequence 得到一棵樹，先將所有編號為 1 到 n 的點的度賦初值為 1，然后加上它在 Purfer Sequence 中出現的次數，得到每個點的度

先執行 n-2 步，每一步，選取具有最小標號的度為 1 的點 u 與 Purfer Sequence 中的第 i 個數 v 表示的頂點相連，得到樹中的一條邊，並將 u 和 v 的度減一

最后再把剩下的兩個度為 1 的點連邊，加入到樹中

 

我們可以根據上面的例子得到的 Purfer Sequence ：1 2 2 重新得到一棵樹

Purfer Sequence 中共有 3 個數，可以知道，它表示的樹中共有 5 個點，按照上面的方法計算他們的度為下表所示：

 

頂點	1	2	3	4	5
度	2	3	1	1	1

 

 

 

第 1 次執行，選取最小標號度為 1 的點 3 和 Purfer Sequence 中的第 1 個數 1 連邊：

將 1 和 3 的度分別減一：

 

頂點	1	2	3	4	5
度	1	3	0	1	1

 

 

 

第 2 次執行，選取最小標號度為 1 的點 1 和 Purfer Sequence 中的第 2 個數 2 連邊：

將 1 和 2 的度分別減一：

 

頂點	1	2	3	4	5
度	0	2	0	1	1

 

 

 

第 3 次執行，將最小標號度為 1 的點 4 和 Purfer Sequence 第 3 個數 2 連邊：

將 2 和 4 的度分別減一：

 

頂點	1	2	3	4	5
度	0	1	0	0	1

 

 

 

最后，還剩下兩個點 2 和 5 的度為 1，連邊：

至此，一個 Purfer Sequence 得到的樹畫出來了，由上面的步驟可知，Purfer Sequence 和一個樹唯一對應

綜上，一個 Purfer Sequence 和一棵樹一一對應

 

有了 Purfer Sequence 的知識，這題怎么搞定呢？

 

先不考慮無解的情況，從 Purfer Sequence 構造樹的過程中可知，一個點的度數減一表示它在 Purfer Sequence 中出現了幾次，那么：

假設度數有限制的點的數量為 cnt，他們的度數分別為：d[i]

另：

 

那么，在 Purfer Sequence 中的不同排列的總數為：

而剩下的 n-2-sum 個位置，可以隨意的排列剩余的 n-cnt 個點，於是，總的方案數就應該是：

化簡之后為：

在有解的情況下，計算該結果輸出就行了

無解的情況非常好確定，這里就再討論了

 

參考代碼

 

import java.util.*;
import java.math.*;

public class Main {
    static int n, d[]=new int[10002];
    static BigInteger p[]=new BigInteger[1002];
    static BigInteger ans;
    
    static public void main(String args[]) {
        Scanner IN=new Scanner(System.in);
        n=IN.nextInt();
        int sum=0, flag=0, cnt=0;
        for(int i=0; i<n; i++) {
            d[i]=IN.nextInt();
            if(d[i]==0 || d[i]>n-1) flag=1;
            if(d[i]==-1) continue;
            sum+=d[i]-1;
            cnt++;
        }
        IN.close();
        if(n==1) {
            if(d[0]==0 || d[0]==-1) System.out.println(1);
            else System.out.println(0);
            return;
        }
        if(n==2) {
            if((d[0]==-1 || d[0]==1) && (d[1]==-1 || d[1]==-1)) System.out.println(1);
            else System.out.println(0);
            return;
        }
        if(flag==1) System.out.println(0);
        p[0]=BigInteger.ONE;
        for(int i=1; i<=n; i++) p[i]=p[i-1].multiply(BigInteger.valueOf(i));
        ans=p[n-2].divide(p[n-2-sum]);
        for(int i=0; i<n; i++) {
            if(d[i]==-1) continue;
            ans=ans.divide(p[d[i]-1]);
        }
        for(int i=0; i<n-2-sum; i++) ans=ans.multiply(BigInteger.valueOf(n-cnt)); 
        System.out.println(ans);
    }
}

 

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