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最近閑暇之余看看編譯原理，娛樂一下，碰到一道小小證明題，於是心血來潮證明一下。
LZ也是數學專業畢業的，當初上大學時每天做的最多的就是多達N個黑板的證明題，可惜啊，時光是殘酷的，現在已不復往日了。
不過看到證明題，尤其是簡單的證明題，LZ積蓄了多年的數學細胞又被激發起來了，這就是青春啊，神馬《致青春》的都弱爆了，總拿愛情說事，其實大學里還是有很多值得回憶的事的，比如證明題，LZ說這話會不會勾起了很多人的痛苦回憶。
不過小證怡情，大證傷身，太長的證明題我們就不鳥咯（其實是LZ證明不出來，囧）。
編譯原理-->題目原型：
1，證明：用下面文法生成的所有二進制串的值都能被3整除（提示：對語法分析樹的節點使用數學歸納法）。
num -> 11 | 1001 | num 0 | num num
2，上面文法是否能生成所有能被3整除的二進制串？
1、分析：該文法的終止符集為{11,1001,0}，非終止符集為{num}，起始符號為num，規則集{num->11,num->1001,num->num 0,num->num num}，由以上文法得到的二進制串，轉換成抽象語法樹之后，其葉子節點一定是11或者1001，而如果向樹的根節點按照規則生成二進制串，則產生的方式有以下兩種。
1）num 0
2）num num。
因而，我們只需要證明num 0 和num num的組合可以被3整除即可。
因為假設前者可以被證明，則語法樹的任何一個節點都可以被3整除，並且在此基礎上，所有組合方式都可以被3整除，故可得到此文法所得到的所有二進制串都可以被3整除。
有了以上分析，那么證明過程非常簡單。
證明：step 1：11和1001都可以被3整除（不解釋）。
step 2：若組合形式為num 0 ，因為 num 0 = 2 * num，故在step 1的前提下，num 0 的組合可以被3整除。
step 3：若組合形式為num num，設num num為num1 num2 ，且num2為n位二進制串，則num num = num1 num2 = (2的n次方) * num1 + num2 ，故在step 1的前提下，num num的組合可以被3整除。
step 4：綜合step 1 、step 2 、step 3，由上述文法生成的所有二進制串都可以被3整除。
2、答案：非也，最顯然的，0就無法由文法導出，另外非顯然的，比如21=10101，也無法由文法導出，再比如給21乘個2，即42 = 101010，也無法導出，and so on。
歐了，怡完情上床睡覺，各位晚安。