POJ2299Ultra-QuickSort （線段樹和歸並排序的解法）

題目大意就是說幫你給一些(n個)亂序的數，讓你求冒泡排序需要交換數的次數（n<=500000）

此題最初真不會做，我也只是在聽了章爺的講解后才慢慢明白過來的

首先介紹線段樹的解法：

我們先將原數組每個值附上一個序號index，再將它排序。如題目的例子：

num：   9  1  0  5  4

index：  1  2  3  4  5

排序后：

num：   0  1  4  5  9

index：  3  2  5  4  1

然后由於排序后num為0的點排在原來數組的第3個，所以為了將它排到第一個去，那就至少需要向前移動兩次，同時它也等價於最小的數0之前有2個數比它大（所以要移動兩次），將0移到它自己的位置后，我們將0刪掉（目的是為了不對后面產生影響）。再看第二大的數1，它出現在原數組的第二個，他之前有一個數比它大所以需要移動一次。這樣一直循環下去那么着5個數所需要移動的次數就是：

num：  0  1  4  5  9

次數      2  1  2  1  0

將次數全部要加起來就是最后所需要移動的總次數。

方法章爺是已經告訴我了，但是最初我一直是覺得不好實現。到后來才慢慢、慢慢弄好。方法就是在建一棵樹時，不是直接將原來的num放進樹里面，而是將它的下標放進樹里面，最初每個節點上賦值為1.然后當查找第一個num時，由於是找的下標為3的位置，所以我們就直接找區間[1,3)之間有多少個1（就是求前導和），這里面1的個數就是第一個num=0索要移動的次數，然后我們把0去掉，其實也就是吧下標為3的那個1去掉。這樣每個值就依次計算出來了。

當然其實只要是想明白了，不用線段樹，直接用樹狀數組寫起來會簡便很多。（因為每次只需要計算前導和以及去掉某一個點，是對點的操作）。

 

這里再講一下歸並排序的方法（對於最基礎就沒有掌握好的我來說聽到他們說歸並排序可以解題時，我竟然一團霧水，竟然連歸並排序都忘記了），看了一下歸並排序的實現過程，其實馬上就可以找到思路，由於本題實際上就是要求逆序對（即滿足i<j，a[i]>a[j]的數對）的個數。而我們再回顧一下歸並排序的過程：

假設回溯到某一步，后面的兩部分已經排好序（就是說當前需要歸並的兩個部分都是分別有序的），假設這兩個序列為

序列a1：2 3 5 9  

序列a2：1 4 6 8

此時我們的目的就是要將a1和a2合並為一個序列。

由於在沒排序前a2序列一定全部都是在a1序列之后的，當我們比較a2的1與a1的2時，發現1<2按照歸並的思想就會先記錄下a2的1，而這里實際上就是對冒泡排序的優化，冒泡是將a2的1依次與a1的9,5,3,2交換就需要4次，而歸並卻只有一次就完成了，要怎么去記錄這個4呢，實際上由於1比2小而2后面還有4個數，也就是說那我的結果就必須要+4，也就是記錄a1序列找到第一個比a2某一個大的數，他后面還余下的數的個數就是要交換的次數。

同時我們看a2的4時，a1中第一個比它大的數是5,5之后共有兩個數，那結果就+2,。依次下去就可以計算出結果。但是由於我們任然沒有改變歸並排序的過程。所以復雜度還是O(nlogn)，比上面的線段樹要快。

另外，此題有一坑就是結果會超int32,，用__int64

首先是線段樹的解法11892 KB   1047 ms

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#define mem(a) memset(a,0,sizeof(a))
#define MIN(a , b) ((a) < (b) ? (a) : (b))
#define MAXN 500010
#define INF  1000000007
#define lson k<<1,     l,     mid
#define rson (k<<1)|1, mid+1,  r

using namespace std;

int Tree[MAXN<<2], index[MAXN], num[MAXN];
int N;

int cmp(const int i, const int j)
{
    return num[i] < num[j];
}

void Edit(int k, int l, int r, int num, int value)
{
    Tree[k] += value;
    if(r==l) return ;
    int mid = (l+r) >> 1;
    if(num <= mid) Edit(lson, num, value);
    else Edit(rson, num, value);
}

int Search(int k, int l, int r, int L, int R)//L,R是要找的區間
{
    if(L<=l && r<=R) return Tree[k];
    int mid = (l+r) >> 1;
    int ans = 0;
    if(L <= mid) ans += Search(lson, L, R);
    if(R > mid) ans += Search(rson, L, R);
    return ans;
}

int main()
{
    while(~scanf("%d", &N) && N)
    {
        mem(Tree); mem(num); mem(index);
        for(int i=1;i<=N;i++)
        {
            scanf("%d", &num[i]);
            Edit(1, 1, N, i, 1);
            index[i] = i;
        }
        sort(index+1, index+N+1,cmp);
        long long ans = 0;
        for(int i=1;i<=N;i++)
        {
            ans += (Search(1, 1, N, 1, index[i])-1);
            Edit(1, 1, N, index[i], -1);
        }
        printf("%I64d\n", ans);
    }
    return 0;
}

然后是歸並排序(只有注釋位置有改動，其他的無變化)4076K   438MS

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define mem(a) memset(a, 0, sizeof(a))

int N, A[500010], T[500010];
__int64 ans;

void Merg_Sort(int x,int y)
{
    if(y-x<=1) return ;
    int mid = x + (y-x)/2;
    Merg_Sort(x,mid);
    Merg_Sort(mid,y);
    int p = x, q = mid, i=x;
    while(p<mid || q<y)
    {
        if(q>=y || (p<mid && A[p] <= A[q])) T[i++] = A[p++];
        else//else的條件是(p==mid || A[q] < A[p])
        {
            if(p<mid) ans+=(mid-p);//由於是p<mid,所以此時也就是相當於 A[q] < A[p]
            T[i++] = A[q++];       //上面同時A[p]是第一個<A[q]的數，所以+后面還有的數(mid-p)
        }
    }
    for(i=x;i<y;i++)
    {
        A[i] = T[i];
    }
}

int main()
{
    while(~scanf("%d", &N) && N)
    {
        mem(A); mem(T);
        for(int i=0;i<N;i++)
        {
            scanf("%d", &A[i]);
        }
        ans = 0;
        Merg_Sort(0,N);
        printf("%I64d\n",ans);//結果會超int32
    }
    return 0;
}