歸並排序與逆序對

在刷題的過程中碰到了關於無序序列的逆序對統計的問題。

直接暴力會超時，然后搜索了一下算法，發現可以通過歸並排序的思想來做到這個統計的過程。看代碼的時候，不知道自己的理解力不夠還是不熟悉別人的代碼，反正是看不懂。無奈之下自己按照自己的理解實現了一下這個算法，順便復習了一下歸並排序算法，所以有了這么一篇文章。算是個筆記吧。

思想很簡單:

1. 數組分成左右兩部分
2. 兩個子數組排序
3. 兩個數組合並，這個合並的過程中，如果左邊的key值大於右邊的key值，就產生了逆序對。因為左邊數組是有序的，所以，這個時候產生的逆序對的個數是剩余未處理的部分的長度，將這個數值統計起來就是我們要的結果。
4. 算法復雜度為$nlog_2 n$。

class MergeSort
{
    public int sort(int[] array, int p, int r)
    {
        if (p < r)
        {
            int q = p + (r - p) / 2;
            int len1 = sort(array, p, q);      //子數組排序
            int len2 = sort(array, q + 1, r);
            int count = merge(array, p, q, r);

            return len1 + len2 + count;
        }
        else
        {
            return 0;
        }
    }

    public int merge(int[] array, int p, int q, int r)
    {
        int n1 = q - p + 1;
        int n2 = r - q;
        int[] array1 = new int[n1 + 1];
        int[] array2 = new int[n2 + 1];
        array1[n1] = int.MaxValue;
        array2[n2] = int.MaxValue;
        for (int i = 0; i < n1; i++)
        {
            array1[i] = array[p + i];
        }

        for (int i = 0; i < n2; i++)
        {
            array2[i] = array[q + 1 + i];
        }

        int index1 = 0, index2 = 0;
        int count = 0;
        for (int i = p; i <= r; i++)
        {
            if (array1[index1] <= array2[index2])
            {
                array[i] = array1[index1++];
            }
            else
            {
                array[i] = array2[index2++];
                count += n1 - index1;//數組有序，所以剩下幾個key就有一個key比array2[index2]大也就是有幾個逆序對。
            }
        }
        return count;
    }
}

算法的有效性：

1. 因為合並前，左右數組有序
2. 左邊的key值如果大於右邊的key值，就代表有逆序對產生。因為數組有序，這樣左邊剩余的key值肯定更大，所以剩余幾個key就有幾個逆序對。
3. 算法的整個過程是遞歸實現的，比較小的key值是一點一點移動到前面來消除逆序對，這個過程是沒有逆向的。