問題描述：
后綴樹（Suffix Tree）
參考資料：
http://www.cppblog.com/yuyang7/archive/2009/03/29/78252.html
http://blog.csdn.net/v_july_v/article/details/6897097
簡介
后綴樹是一種PAT樹，它描述了給定字符串的所有后綴，許多重要的字符串操作都能夠在后綴樹上快速地實現。
定義
一個長度為n的字符串S，它的后綴樹定義為一棵滿足如下條件的樹：
1. 從根到樹葉的路徑與S的后綴一一對應。即每條路徑惟一代表了S的一個后綴；
2. 每條邊都代表一個非空的字符串；
3. 所有內部節點（根節點除外）都有至少兩個子節點。
由於並非所有的字符串都存在這樣的樹，因此S通常使用一個終止符號進行填充（通常使用$）。
優點
1. 匹配快。對於長度為m的模式串，只需花費至多O(m)的時間進行匹配。
2. 空間省。Suffix tree的空間耗費要低於Suffix trie，因為Suffix tree除根節點外不允許其內部節點只含單個子節點，因此它是Suffix trie的壓縮表示。
后綴樹的生成，Suffix trie ------>> Suffix tree
后綴，顧名思義，甚至通俗點來說，就是所謂后綴就是后面尾巴的意思。比如說給定一長度為n的字符串S=S1S2..Si..Sn，和整數i，1 <= i <= n，子串SiSi+1...Sn便都是字符串S的后綴。
以字符串S=XMADAMYX為例，它的長度為8，所以S[1..8], S[2..8], ... , S[8..8]都算S的后綴，我們一般還把空字串也算成后綴。這樣，我們一共有如下后綴。對於后綴S[i..n]，我們說這項后綴起始於i。
S[1..8], XMADAMYX， 也就是字符串本身，起始位置為1
S[2..8], MADAMYX，起始位置為2
S[3..8], ADAMYX，起始位置為3
S[4..8], DAMYX，起始位置為4
S[5..8], AMYX，起始位置為5
S[6..8], MYX，起始位置為6
S[7..8], YX，起始位置為7
S[8..8], X，起始位置為8
空字串，記為$。
而后綴樹，就是包含一則字符串所有后綴的壓縮Trie。把上面的后綴加入Trie后，我們得到下面的結構：
仔細觀察上圖，我們可以看到不少值得壓縮的地方。比如藍框標注的分支都是獨苗，沒有必要用單獨的節點同邊表示。如果我們允許任意一條邊里包含多個字 母，就可以把這種沒有分叉的路徑壓縮到一條邊。另外每條邊已經包含了足夠的后綴信息，我們就不用再給節點標注字符串信息了。我們只需要在葉節點上標注上每項后綴的起始位置。於是我們得到下圖：
這樣的結構丟失了某些后綴。比如后綴X在上圖中消失了，因為它正好是字符串XMADAMYX的前綴。為了避免這種情況，我們也規定每項后綴不能是其它后綴的前綴。要解決這個問題其實挺簡單，在待處理的子串后加一個空字串就行了。例如我們處理XMADAMYX前，先把XMADAMYX變為 XMADAMYX$，於是就得到suffix tree--后綴樹了，如下圖所示：
2.2、后綴樹與回文問題的關聯
那后綴樹同最長回文有什么關系呢？我們得先知道兩個簡單概念：
- 最低共有祖先，LCA（Lowest Common Ancestor)，也就是任意兩節點（多個也行）最長的共有前綴。比如下圖中，節點7同節點10的共同祖先是節點1與節點，但最低共同祖先是5。 查找LCA的算法是O(1)的復雜度，這年頭少見。代價是需要對后綴樹做復雜度為O(n)的預處理。
- 廣義后綴樹(Generalized Suffix Tree)。傳統的后綴樹處理一坨單詞的所有后綴。廣義后綴樹存儲任意多個單詞的所有后綴。例如下圖是單詞XMADAMYX與XYMADAMX的廣義后綴 樹。注意我們需要區分不同單詞的后綴，所以葉節點用不同的特殊符號與后綴位置配對。
2.3、最長回文問題的解決
有了上面的概念，本文引言中提出的查找最長回文問題就相對簡單了。咱們來回顧下引言中提出的回文問題的具體描述：找出給定字符串里的最長回文。例如輸入XMADAMYX，則輸出MADAM。思維的突破點在於考察回文的半徑，而不是回文本身。所謂半徑，就是回文對折后的字串。比如回文MADAM 的半徑為MAD，半徑長度為3，半徑的中心是字母D。顯然，最長回文必有最長半徑，且兩條半徑相等。還是以MADAM為例，以D為中心往左，我們得到半徑 DAM；以D為中心向右，我們得到半徑DAM。二者肯定相等。因為MADAM已經是單詞XMADAMYX里的最長回文，我們可以肯定從D往左數的字串 DAMX與從D往右數的子串DAMYX共享最長前綴DAM。而這，正是解決回文問題的關鍵。現在我們有后綴樹，怎么把從D向左數的字串DAMX變成后綴 呢？
到這個地步，答案應該明顯：把單詞XMADAMYX翻轉（XMADAMYX=>XYMADAMX，DAMX就變成后綴了）就行了。於是我們把尋找回文的問題轉換成了尋找兩坨后綴的LCA的問題。當然，我們還需要知道 到底查詢那些后綴間的LCA。很簡單，給定字符串S，如果最長回文的中心在i，那從位置i向右數的后綴剛好是S(i)，而向左數的字符串剛好是翻轉S后得到的字符串S‘的后綴S'(n-i+1)。這里的n是字符串S的長度。
可能上面的闡述還不夠直觀，我再細細說明下：
1、首先，還記得本第二部分開頭關於后綴樹的定義么： “先說說后綴的定義，顧名思義，甚至通俗點來說，就是所謂后綴就是后面尾巴的意思。比如說給定一長度為n的字符串S=S1S2..Si..Sn，和整數i，1 <= i <= n，子串SiSi+1...Sn便都是字符串S的后綴。”
以字符串S=XMADAMYX為例，它的長度為8，所以S[1..8], S[2..8], ... , S[8..8]都算S的后綴，我們一般還把空字串也算成后綴。這樣，我們一共有如下后綴。對於后綴S[i..n]，我們說這項后綴起始於i。
S[1..8], XMADAMYX， 也就是字符串本身，起始位置為1
S[2..8], MADAMYX，起始位置為2
S[3..8], ADAMYX，起始位置為3
S[4..8], DAMYX，起始位置為4
S[5..8], AMYX，起始位置為5
S[6..8], MYX，起始位置為6
S[7..8], YX，起始位置為7
S[8..8], X，起始位置為8
空字串，記為$。
2、對單詞XMADAMYX而言，回文中心為D，那么D向右的后綴DAMYX假設是S(i)（當N=8，i從1開始計數，i=4時，便是S(4..8)）;而對於翻轉后的單詞XYMADAMX而言，回文中心D向右對應的后綴為DAMX，也就是S'(N-i+1)(（N=8，i=4，便是S‘（5..8）） 。此刻已經可以得出，它們共享最長前綴，即LCA（DAMYX，DAMX）=DAM。有了這套直觀解釋，算法自然呼之欲出：
- 預處理后綴樹，使得查詢LCA的復雜度為O(1)。這步的開銷是O(N)，N是單詞S的長度 ；
- 對單詞的每一位置i(也就是從0到N-1)，獲取LCA(S(i), S‘(N-i+1)) 以及LCA(S(i+1), S’(n-i+1))。查找兩次的原因是我們需要考慮奇數回文和偶數回文的情況。這步要考察每坨i，所以復雜度是O(N) ；
- 找到最大的LCA，我們也就得到了回文的中心i以及回文的半徑長度，自然也就得到了最長回文。總的復雜度O(n)。
上面大致描述了后綴樹的基本思路。要想寫出實用代碼，至少還得知道下面的知識：
- 創建后綴樹的O(n)算法。此算法有很多種，無論Peter Weiner的73年年度最佳算法，還是Edward McCreight1976的改進算法，還是1995年E. Ukkonen大幅簡化的算法（本文第4部分將重點闡述這種方法），還是Juha Kärkkäinen 和 Peter Sanders2003年進一步簡化的線性算法，都是O（n）的時間復雜度。至於實際中具體選擇哪一種算法，可依實際情況而定。
- 實現后綴樹用的數據結構。比如常用的子結點加兄弟節點列表，Directed 優化后綴樹空間的辦法。比如不存儲子串，而存儲讀取子串必需的位置。以及Directed Acyclic Word Graph，常縮寫為黑哥哥們掛在嘴邊的DAWG。
2.4、后綴樹的應用
后綴樹的用途，總結起來大概有如下幾種- 查找字符串o是否在字符串S中。
方案：用S構造后綴樹，按在trie中搜索字串的方法搜索o即可。
原理：若o在S中，則o必然是S的某個后綴的前綴。
例如S: leconte，查找o: con是否在S中,則o(con)必然是S(leconte)的后綴之一conte的前綴.有了這個前提，采用trie搜索的方法就不難理解了。 - 指定字符串T在字符串S中的重復次數。
方案：用S+’$'構造后綴樹，搜索T節點下的葉節點數目即為重復次數
原理：如果T在S中重復了兩次，則S應有兩個后綴以T為前綴，重復次數就自然統計出來了。 - 字符串S中的最長重復子串
方案：原理同2，具體做法就是找到最深的非葉節點。
這個深是指從root所經歷過的字符個數，最深非葉節點所經歷的字符串起來就是最長重復子串。
為什么要非葉節點呢?因為既然是要重復，當然葉節點個數要>=2。 - 兩個字符串S1，S2的最長公共部分
方案：將S1#S2$作為字符串壓入后綴樹，找到最深的非葉節點，且該節點的葉節點既有#也有$(無#)。
后綴樹實現：