后綴樹

后綴樹Suffix-Tree的應用

前言

關於字符串的處理，如最長公共子串、回文問題等，用后綴樹可以很好的解決，下面對其應用做一個簡單的介紹。

什么是后綴樹

后綴樹（Suffix tree）是一種樹形數據結構，能快速解決很多關於字符串的問題。后綴樹的概念最早由Weiner 於1973年提出，既而由McCreight 在1976年和Ukkonen在1992年和1995年加以改進完善。

總結起來，它主要可以解決類似如下的一些問題：

• 查找字符串o是否在字符串S中
• 指定字符串T在字符串S中的重復次數
• 字符串S中的最長重復子串
• 兩個字符串S1，S2的最長公共部分

這些問題如何解決，我們最后再談。

結構定義

假設我們現在有一個字符串T = "mississippi"，那么我們可以列出它所有的后綴字符串：

Python

 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

T1 = mississippi T2 = ississippi T3 = ssissippi T4 = sissippi T5 = issippi T6 = ssippi T7 = sippi T8 = ippi T9 = ppi T10 = pi T11 = i T12 = ( empty )

然后對所有的非空后綴做排序，可以得到如下字符串組：

Python

 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

T11 = i T8    = ippi T5    = issippi T2    = ississippi T1    = mississippi T10 = pi T9    = ppi T7    = sippi T4    = sissippi T6    = ssippi T3    = ssissippi

可以看出很明顯的樹形規律，我們可以把這棵樹畫出來：

其中每個葉子節點都可以引出一個字符串，圖中一共十個字符串（缺少空串和i字串，為了解決此問題，通常我們會在字符串的末尾加上一個$符號，這樣構造后綴樹的時候就不會出現少串的現象了）

上圖中，每個葉子節點在原字符串的起始位置也可以標出來，即：

后綴樹的應用

現在再來看看本文開頭提到的四個問題，對照上面的圖，我們很容易可以獲得他們的解法：

• 查找字符串o是否在字符串S中
  解法：如果S存在於o中，那么S必然是o的某一個后綴的前綴，按照Trie樹搜索前綴的方法，遍歷后綴樹即可。復雜度為O(M)，其中M為字符串S的長度。
• 指定字符串T在字符串S中的重復次數
  解法：在字符串S后追加$構造包含所有后綴的完整后綴樹，在其中找到T子川，的最后一個節點，該節點擁有的葉子節點個數幾位重復次數，復雜度為O(M)，M為T的長度。
• 字符串S中的最長重復子串
  解法：遍歷整個后綴樹，找到深度最大的非葉子節點，復雜度為O(N)，N為字符串的長度。
• 兩個字符串S1，S2的最長公共部分
  解法：分別 為S1、S2追加#、$作為末尾，把他們壓入同一個后綴樹，然后找到最深的非葉子節點，該節點的葉子節點中，既有#又有$。復雜度為構造兩顆后綴樹的復雜度之和，取最大即可max(O(N),O(M))，其中N、M為S1、S2的長度，假設我們以線性時間構造了后綴樹，下位講解構造方法。

最初的構造方法(O(N^2))

按照上文的圖形，我們可以想到一個自然而然的方法構造后綴樹，即遍歷字符串，取得每一個后綴，然后再遍歷這個后綴，依次添加到后綴樹中，這種做法由於要遍歷兩次，復雜度接近於O(N^2)，其過程為(假設有字符串S = papua)：

改進的構造方法

1995年Ukkonen發明了新的構造算法，可以把后綴樹的構造時間復雜度控制在線性時間內。

后綴樹跟后綴Trie有着一樣的布局, 但它把只有一個兒子的節點給剔除了. 這個過程被稱為路徑壓縮, 這意味着樹上的某些邊將表示一個序列而不是單獨的字符。如上面的papua的后綴樹中，從根節點引出的ua，其實是由兩個節點u、a構成的，但是因為u只有一個兒子節點，所以把他們合並，以壓縮存儲空間。

McCreight最初的構造法是有些缺陷的, 原則上它要按逆序構造, 也就是說字符要從末端開始插入. 如此一來, 便不能作為在線算法, 它變得更加難以應用於實際問題, 如數據壓縮。而且遍歷插入后綴樹也需要N^2兩級的事件。

Ukkonen把原算法作了一些改動, 把它變成了從左往右。對於所給的文本T, Esko Ukkonen的算法是由一棵空樹開始, 逐步構造T的每個前綴的后綴樹. 比如我們構造BANANAS的后綴樹, 先由B開始, 接着是BA, 然后BAN, … . 不斷更新直到構造出BANANAS的后綴樹。如圖：

因此，每次把一個原字符串的前綴追加到后綴樹中，相當於更新該后綴樹，如在BA后加入BAN，相當於只是新增了N字符在末尾，依次類推，我們主要關注后綴樹的更新即可。

具體的更新過程比較復雜，可以參考下面的文章了解。

 

 

Suffix tree—后綴樹

l  簡介

后綴樹是一種PAT樹，它描述了給定字符串的所有后綴，許多重要的字符串操作都能夠在后綴樹上快速地實現。

l  定義

一個長度為n的字符串S，它的后綴樹定義為一棵滿足如下條件的樹：

n  從根到樹葉的路徑與S的后綴一一對應。即每條路徑惟一代表了S的一個后綴；

n  每條邊都代表一個非空的字符串；

n  所有內部節點（根節點除外）都有至少兩個子節點。

由於並非所有的字符串都存在這樣的樹，因此S通常使用一個終止符號進行填充（通常使用$）。

 

l  優點

n  匹配快。對於長度為m的模式串，只需花費至多O(m)的時間進行匹配。

n  空間省。Suffix tree的空間耗費要低於Suffix trie，因為Suffix tree除根節點外不允許其內部節點只含單個子節點，因此它是Suffix trie的壓縮表示。