遞歸關系求解

問題

假設：一個反應器中有兩類粒子α和β，設每秒鍾一個α粒子分裂成3個β粒子，而每秒鍾一個β粒子分裂成一個α粒子和兩個β粒子。假如在t=0時：反應器中有一個α粒子，求t秒時反應器中α粒子和β粒子的數目。

根據關系列出遞歸關系

a(t) = b(t-1)
b(t) = 3*a(t-1) + 2*b(t-1)

參考程序

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define A_size 5 
int aa(int size)   //aa(t)表示t時刻α的個數
{
    if (size == 0)
        return 1;
    else
        return bb(size-1);
}
int bb(int size)   //bb(t)表示t時刻β的個數
{
    if (size == 0)
        return 0;
    else
        return 3 * aa(size-1) + 2 *  bb(size-1);
}
int main()
{
    printf("%d\n", aa(A_size) + bb(A_size));
    return 0;
}

結果：243

a(t) = b(t-1)
b(t) = 3*a(t-1) + 2b(t-1)
得：
a(t-1)=b(t-2)
b(t) = 3*a(t-1) +2*b(t-1)
      =3* b(t-2) + 2* b(t-1) (t>=2)
根據已知條件知：a(0)=1 a(1)=0   b（0）=0 b(1)=3

得到遞歸關系：b(t) = 2*b(t-1) + 3*b(t-2)，這是一個常系數齊次線性方程。為了求解看下解常系數齊次線性方程的一般方法。

解常系數齊次線性方程的一般方法

首先區分

特征方程與特征值

 求解通解的步驟

1.根據遞歸關系得出特征方程，求解方程得到特征根；

2.表示出通解的一般形式（分為是否有重根）；

3.代入初始值得到系數，從而得到通解。

就本題演示一般步驟

1.把遞歸關系b(n)=2*b(t-1) + 3*b(t-2),表示為特征方程：x²=2x+3,得到特征值-1和3;

2.沒有重根，通解表示為b(t) = c₁*(-1)ⁿ +　c₂*(3)^n;

^{3.帶入初始值，得到c₁=-3/4   c₂ = 3/4,}

從而得到通解：b(t) = -3/4 *(-1)ⁿ +　1/4 *(3)^{n+1
                      a(t) = -3/4 *(-1)n-1 +　1/4 *(3)n}  (t>=2)