首先介紹一下題意：已知，有N個學生和P門課程，每個學生可以選0門，1門或者多門課程，要求在N個學生中選出P個學生使得這P個學生與P門課程一一對應。
這個問題既可以利用最大流算法解決也可以用匈牙利算法解決。如果用最大流算法中的Edmonds-karp算法解決，因為時間復雜度為O(n*m*m),n為點數，m為邊數，會超時，利用匈牙利算法，時間復雜度為O(n*m)，時間復雜度小，不會超時。
其實匈牙利算法就是最大流算法，只不過它的使用范圍僅限於二分圖，所以可以稱之為“二分圖定制版的最大流算法”，既然是定制的，那么他就會考慮到二分圖的特殊性，優化原來的最大流算法，降低時間復雜度，同時也變得有點復雜不容易理解了。既然匈牙利算法繼承自最大流算法，所以他的算法框架與最大流算法是一樣的：
最大流算法與匈牙利算法的框架：
初始時最大流為0（匈牙利算法為：最大匹配為空）
while 找到一條增廣路徑（匈牙利算法為：取出未遍歷的左邊的點u）
最大流+=增廣路徑的流量，更新網絡（匈牙利算法為：如果點u存在增廣路徑，增廣路徑取反，最大匹配增加1對匹配）
我們知道在利用最大流算法解決最大匹配問題時，首先需要構建一個超級源點s和超級匯點t，並且邊是有方向的和容量（為1）的(如圖8所示)，而利用匈牙利算法則不需要構造s,t，邊也沒有方向和容量。表面上看匈牙利算法中的邊沒有方向和容量，其實在它對增廣路徑的約束中我們可以看到邊的方向和容量的“影子”，如下紅色標注的約束。
匈牙利算法對增廣路徑的約束 參見[1] ：
(1)有奇數條邊。
(2)起點在二分圖的左半邊，終點在右半邊。
(3)路徑上的點一定是一個在左半邊，一個在右半邊，交替出現。（其實二分圖的性質就決定了這一點，因為二分圖同一邊的點之間沒有邊相連，不要忘記哦。）
(4)整條路徑上沒有重復的點。
(5)起點和終點都是目前還沒有配對的點，而其它所有點都是已經配好對的。（如圖5，圖6所示，［2,5］是已經配好對的點；而起點3和終點7目前還沒有與其它點配對。）
(6)路徑上的所有第奇數條邊都不在原匹配中，所有第偶數條邊都出現在原匹配中。（如圖5，圖6所示，原有的匹配［2，5］在在圖6給出的增廣路徑（紅線所示）中是第2條邊。而增廣路徑的第1、3條邊都沒有出現在圖5給出的匹配中。）
(7)最后，也是最重要的一條，把增廣路徑上的所有第奇數條邊加入到原匹配中去，並把增廣路徑中的所有第偶數條邊從原匹配中刪除（這個操作稱為增廣路徑的取反），則新的匹配數就比原匹配數增加了1個。（如圖6所示，新的匹配就是所有被紅色的邊所覆蓋的黑色的邊，而所有紅色的邊所覆蓋的黃色的邊則從原匹配中刪除，最終匹配結果如圖7黃色的邊所示。則新的匹配數為3。）
為了便於理解，下面給出利用最大流算法和匈牙利算法解決最大二分匹配的圖示。圖1為初始二分圖，圖1->圖7為利用匈牙利算法求解最大二分匹配的過程，圖8為利用圖1二分圖所構建的流網絡，圖8->圖14為利用最大流算法求解最大二分匹配的過程,最終求得的最大流為所有增廣路徑（如圖9，圖10，圖11所示）增加的流相加：1+1+1=3。
下面介紹一下Hopcroft-Karp算法，這個算法的時間復雜度為O(n^(1/2)*m)。該算法是對匈牙利算法的優化，如圖1-圖7，利用匈牙利算法一次只能找到一條增廣路徑，Hopcroft-Karp就提出一次找到多條不相交的增廣路徑（不相交就是沒有公共點和公共邊的增廣路徑），然后根據這些增廣路徑添加多個匹配。說白了，就是批量處理！為了容易理解，我構造了一個圖例，見圖15-圖18。
回到原題中來，code1、code2分別為dfs和bfs實現的匈牙利算法;code3為利用Hopcroft-Karp解決COURSE的代碼。
code1:
#include<iostream> using namespace std; #define Maxn 500 //課程與課代表 //存儲左側的點連接的右側點 int lefts[Maxn]; //存儲右側的點 連接的左側點 int rights[Maxn]; int flag_rights[Maxn]; int G[Maxn][Maxn]; //nc代表課程數目 ns代表學生數目 int nc,ns; int findpath(int left_u) { for(int v=1;v<=ns;v++) { if(G[left_u][v]&&!flag_rights[v]) { flag_rights[v]=1; if((rights[v]==-1||findpath(rights[v]))) { lefts[left_u]=v; rights[v]=left_u; return 1; } } } return 0; } //最大匹配 int MaxMatch() { // printf("MaxMatch開始執行\n"); int cnt=0; memset(lefts,-1,sizeof(lefts)); memset(rights,-1,sizeof(rights)); for(int u=1;u<=nc;u++) { memset(flag_rights,0,sizeof(flag_rights)); if(findpath(u)) { cnt++; } } return cnt; } int main() { int num; scanf("%d",&num); while(num--) { //首先輸入數據 memset(G,0,sizeof(G)); scanf("%d%d",&nc,&ns); for(int u=1;u<=nc;u++) { int c_stu; scanf("%d",&c_stu); for(int j=0;j<c_stu;j++) { int v; scanf("%d",&v); G[u][v]=1; } } if(ns>=nc&&MaxMatch()==nc) { printf("YES\n"); } else { printf("NO\n"); } } return 0; } /* 4 3 3 3 1 2 3 2 1 2 1 1 3 3 2 1 3 2 1 3 1 1 3 3 3 1 2 3 2 1 2 1 1 3 3 2 1 3 2 1 3 1 1 */
CODE2:
#include<iostream> #include<queue> #define Maxn 500 using namespace std; //利用匈牙利算法解決二分圖匹配問題 int nc,ns;//nc代表課程數 ns代表學生數 int lefts[Maxn];//存儲課程所對應的學生 int rights[Maxn];//存儲學生所對應的課程 int G[Maxn][Maxn]; int pre_left[Maxn];//記錄課程前面的課程 （增廣路徑） int mark_right[Maxn];//記錄當前學生是否已經遍歷（增廣路徑） //利用廣度優先搜索 得到最大匹配數 int max_match() { //lefts 數組初始化為0 memset(lefts,-1,sizeof(lefts)); memset(rights,-1,sizeof(rights)); int maxf=0; for(int i=1;i<=nc;i++) { queue<int>q; q.push(i); int ok=0; memset(mark_right,0,sizeof(mark_right)); memset(pre_left,0,sizeof(pre_left)); while(!q.empty()) { int u=q.front(); q.pop(); for(int v=1;v<=ns;v++) { if(G[u][v]&&!mark_right[v])//如果課程與學生對應 並且當前學生沒有被遍歷 { mark_right[v]=1; if(rights[v]==-1) { ok=1; //更新匹配關系 int sl=u,sr=v; while(sl!=0) { int st=lefts[sl]; lefts[sl]=sr;rights[sr]=sl; sl=pre_left[sl];sr=st; } break; } else { pre_left[rights[v]]=u;//記錄課程的前驅 q.push(rights[v]); } } } if(ok) break; } if(ok) maxf++; } /* for(int i=1;i<4;i++) cout<<lefts[i]<<" "<<rights[i]<<endl; */ return maxf; } int main() { int num; scanf("%d",&num); while(num--) { memset(G,0,sizeof(G)); scanf("%d%d",&nc,&ns); for(int i=1;i<=nc;i++) { int snum; scanf("%d",&snum); int u; for(int j=1;j<=snum;j++) { scanf("%d",&u); G[i][u]=1; } } if(max_match()==nc) { printf("YES\n"); } else { printf("NO\n"); } /* cout<<"最大匹配數是："<<max_match()<<endl; cout<<"對應的匹配關系是："<<endl; for(int i=1;i<=nc;i++) { cout<<i<<" "<<lefts[i]<<endl; } cout<<"!!!!!!!!!!!!!!"<<endl; for(int i=1;i<=ns;i++) { cout<<rights[i]<<" "<<i<<endl; }*/ } return 0; } /* 6 3 3 2 1 3 2 1 3 1 1 3 3 3 1 2 3 2 1 2 1 1 3 3 2 1 3 2 1 3 1 1 3 3 3 1 2 3 2 1 2 1 1 */
CODE3:
#include<iostream> #include<queue> using namespace std; const int MAXN=500;// 最大點數 const int INF=1<<28;// 距離初始值 int bmap[MAXN][MAXN];//二分圖 int cx[MAXN];//cx[i]表示左集合i頂點所匹配的右集合的頂點序號 int cy[MAXN]; //cy[i]表示右集合i頂點所匹配的左集合的頂點序號 int nx,ny; int dx[MAXN]; int dy[MAXN]; int dis; bool bmask[MAXN]; //尋找 增廣路徑集 bool searchpath() { queue<int>Q; dis=INF; memset(dx,-1,sizeof(dx)); memset(dy,-1,sizeof(dy)); for(int i=1;i<=nx;i++) { //cx[i]表示左集合i頂點所匹配的右集合的頂點序號 if(cx[i]==-1) { //將未遍歷的節點 入隊 並初始化次節點距離為0 Q.push(i); dx[i]=0; } } //廣度搜索增廣路徑 while(!Q.empty()) { int u=Q.front(); Q.pop(); if(dx[u]>dis) break; //取右側節點 for(int v=1;v<=ny;v++) { //右側節點的增廣路徑的距離 if(bmap[u][v]&&dy[v]==-1) { dy[v]=dx[u]+1; //v對應的距離 為u對應距離加1 if(cy[v]==-1) dis=dy[v]; else { dx[cy[v]]=dy[v]+1; Q.push(cy[v]); } } } } return dis!=INF; } //尋找路徑 深度搜索 int findpath(int u) { for(int v=1;v<=ny;v++) { //如果該點沒有被遍歷過 並且距離為上一節點+1 if(!bmask[v]&&bmap[u][v]&&dy[v]==dx[u]+1) { //對該點染色 bmask[v]=1; if(cy[v]!=-1&&dy[v]==dis) { continue; } if(cy[v]==-1||findpath(cy[v])) { cy[v]=u;cx[u]=v; return 1; } } } return 0; } //得到最大匹配的數目 int MaxMatch() { int res=0; memset(cx,-1,sizeof(cx)); memset(cy,-1,sizeof(cy)); while(searchpath()) { memset(bmask,0,sizeof(bmask)); for(int i=1;i<=nx;i++) { if(cx[i]==-1) { res+=findpath(i); } } } return res; } int main() { int num; scanf("%d",&num); while(num--) { memset(bmap,0,sizeof(bmap)); scanf("%d%d",&nx,&ny); for(int i=1;i<=nx;i++) { int snum; scanf("%d",&snum); int u; for(int j=1;j<=snum;j++) { scanf("%d",&u); bmap[i][u]=1; // bmap[u][i]=1; } } // cout<<MaxMatch()<<endl; if(MaxMatch()==nx) { printf("YES\n"); } else { printf("NO\n"); } } //system("pause"); return 0; } /* 2 3 4 2 1 3 3 1 3 4 1 2 */