跟着編程之美學算法——最長公共子序列

最長公共子序列是一個很經典的動態規划問題，最近正在學習動態規划，所以拿來這里再整理一下。

這個問題在《算法導論》中作為講動態規划算法的例題出現。

 

動態規划，眾所周知，第一步就是找子問題，也就是把一個大的問題分解成子問題。這里我們設兩個字符串A、B，A = "a0, a1, a2, ..., am-1"，B = "b0, b1, b2, ..., bn-1"。

（1）如果am-1 == bn-1，則當前最長公共子序列為"a0, a1, ..., am-2"與"b0, b1, ..., bn-2"的最長公共子序列與am-1的和。長度為"a0, a1, ..., am-2"與"b0, b1, ..., bn-2"的最長公共子序列的長度+1。

（2）如果am-1 != bn-1，則最長公共子序列為max（"a0, a1, ..., am-2"與"b0, b1, ..., bn-1"的公共子序列，"a0, a1, ..., am-1"與"b0, b1, ..., bn-2"的公共子序列）

如果上述描述用數學公式表示，則引入一個二維數組c[][]，其中c[i][j]記錄X[i]與Y[j]的LCS長度，b[i][j]記錄c[i][j]是通過哪一個子問題的值求得的，即，搜索方向。

這樣我們可以總結出該問題的遞歸形式表達：

按照動態規划的思想，對問題的求解，其實就是對子問題自底向上的計算過程。這里，計算c[i][j]時，c[i-1][j-1]、c[i-1][j]、c[i][j-1]已經計算出來了，這樣，我們可以根據X[i]與Y[j]的取值，按照上面的遞推，求出c[i][j]，同時把路徑記錄在b[i][j]中（路徑只有3中方向：左上、左、上，如下圖）。

計算c[][]矩陣的時間復雜度是O(m*n)；根據b[][]矩陣尋找最長公共子序列的過程，由於每次調用至少向上或向左移動一步，這樣最多需要（m+n）次就會i = 0或j = 0，也就是算法時間復雜度為O(m+n)。

一下是代碼實現：

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string>
#include <string.h>

using namespace std;

void LCS_Print(int **LCS_Direction, char *str, int row, int column)
{
    if(str == NULL)
        return;

    int nLen1 = strlen(str);

    if(nLen1 == 0 || row < 0 || column < 0)
        return;
    
    if(LCS_Direction[row][column] == 1)
    {
        if(row > 0 && column > 0)
            LCS_Print(LCS_Direction, str, row - 1, column - 1);
        printf("%c ", str[row]);
    }
    else if(LCS_Direction[row][column] == 2)
    {
        if(row > 0)
            LCS_Print(LCS_Direction, str, row - 1, column);
    }
    else if(LCS_Direction[row][column] == 3)
    {
        if(column > 0)
            LCS_Print(LCS_Direction, str, row, column - 1);
    }
}

int LCS(char *str1, char *str2)
{
    if(str1 == NULL || str2 == NULL)
        return 0;

    int nLen1 = strlen(str1);
    int nLen2 = strlen(str2);

    if(nLen1 <= 0 || nLen2 <= 0)
        return 0;

    // 申請一個二維數組，保存不同位置的LCS值
    int **LCS_Length = new int*[nLen1];
    // 申請一個二維數組，保存公共序列的位置
    int **LCS_Direction = new int*[nLen1];
    for(int i = 0; i < nLen1; i++)
    {
        LCS_Length[i] = new int[nLen2];
        LCS_Direction[i] = new int[nLen2];
    }

    for(int i = 0; i < nLen1; i++)
        LCS_Length[i][0] = 0;
    for(int i = 0; i < nLen2; i++)
        LCS_Length[0][i] = 0;
    
    for(int i = 0; i < nLen1; i++)
    {
        for(int j = 0; j < nLen2; j++)
        {
            LCS_Direction[i][j] = 0;
        }
    }

    cout<<"Init OK!"<<endl;

    for(int i = 0; i <nLen1; i++)
    {
        for(int j = 0; j < nLen2; j++)
        {
            if(i == 0 || j == 0)
            {
                if(str1[i] == str2[j])
                {
                    LCS_Length[i][j] = 1;
                    LCS_Direction[i][j] = 1;
                }
                else
                    LCS_Length[i][j] = 0;
            }
            else if(str1[i] == str2[j])
            {
                LCS_Length[i][j] = LCS_Length[i - 1][j - 1] + 1;
                LCS_Direction[i][j] = 1;
            }
            else if(LCS_Length[i - 1][j] > LCS_Length[i][j - 1])
            {
                LCS_Length[i][j] = LCS_Length[i - 1][j];
                LCS_Direction[i][j] = 2;
            }
            else
            {
                LCS_Length[i][j] = LCS_Length[i][j - 1];
                LCS_Direction[i][j] = 3;
            }
        }
    }

    LCS_Print(LCS_Direction, str1, nLen1 - 1, nLen2 - 1);
    cout<<endl;
    int nLCS = LCS_Length[nLen1 - 1][nLen2 - 1];
    for(int i = 0; i < nLen1; i++)
    {
        delete[] LCS_Length[i];
        delete[] LCS_Direction[i];
    }
    delete [] LCS_Length;
    delete [] LCS_Direction;
    return nLCS;
}

int main()
{
    cout<<LCS("ABCBDAB", "BDCABA")<<endl;
    return 0;
}