計算機系統中的浮點數

人類世界的小數的表示形式

1、我們最習慣的小數表示形式是十進制，形式為：

　　它的值為：

2、小數的二進制表示法，形式為：

　　它的值為：

 

IEEE浮點標准

在計算機系統中，因為有字節的限制（C語言中float類型占4字節，double類型占8字節），小數的表示要復雜的多。IEEE制定的浮點標准得到了所有的計算機的支持。

IEEE浮點標准用如下形式表示一個數：

　　符號（sign）s，1為負數，0為正數。數值0的符號位解釋做特殊情況處理；

     尾數（significand 有效數）M是一個小數，范圍為1~2-ε 或 0~1-ε （即 [1,2) 或 [0,1) ，詳情請看“浮點數的類型”部分）

     階碼（exponent 指數）E的作用是對浮點數加權，這個權重是2的E次冪（可能是負數）

 

標准浮點格式（浮點有3個字段組成）有以下兩個類型：

　　32位的單精度：s、exp和frac字段分別為1位、8位、23位

　　64位的雙精度：s、exp和frac字段分別為1位、11位、52位

 

 

IEEE浮點數的類型

依據階碼字段是否全為0、全為1分為以下三種：

1、規格化的值：exp字段（階碼字段）的位模式不全為0，或不全為1.

　　階碼 E=e-Bias  其中，e是exp字段表示的無符號數，Bias是偏置值2^(k-1)-1（單精度為127，雙精度為1023）。階碼E以此方式來表示成有符號數。因此得到E的范圍：單精度-126~127，雙精度-1022~1023

　　若字段frac（尾數域）為   則定義尾數 M=1+f，其中f= 。即尾數域僅僅表示小數點后面的部分，隱含小數點前面為1。

 

2、非規格化的值：當階碼字段全為0

　　階碼 E=1-Bias

　　尾數 M=f，不包含隱含的開頭1

　　目的是表示數值0；表示非常接近與0.0的數

 

3、特殊值：階碼字段全為1

　　當尾數域全為0，表示無窮大或無窮小

　　當尾數域不全為0，結果值被稱為NaN（Not a Number）

 

我們用正數范圍內的示例，來說明上面的三種類型的重大意義

　　e：假定階碼字段是一個無符號整數表示的值

　　E：偏置之后的 階碼值

　　2^E：階碼的權重數

　　f：尾碼字段描述的小數值

　　M: 尾數值

　　V： 小數值 V=2^E * M

IEEE浮點表示的特點

1，最大非規格化數7/512 到 最小規格化數8/512的平滑轉變；

2，若將上圖中浮點數的位表達式解釋為無符號整數，它們就是按升序排列的，就像它們表示的浮點數一樣。（IEEE如此設計格式就是為了浮點數能夠使用整數排序函數來進行排序）

例如：

typedef unsigned char *type_pointer;

void show_types(type_pointer start,int len)
{
    int i;
    for(i=0; i<len; i++)
        printf(" %.2x",start[i]);
    printf("\n");
}

int main()
{
    float f1=1.0;
    show_types(&f1,sizeof(f1));
    return 0;
}

輸出：00 00 80 3f

分析：這個程序運行在windows 32位機上。window系統是小端法（數值的低字節放在內存的前端）機器。

對於的二進制表示為：00111111 10000000 00000000 00000000

float的第1位為符號位：0；第2至第9位為階碼位，供8位：E=127-127=0；后面的23位為尾碼，M=1+0=1。

所以，（-1）⁰*1*2_⁰=1.0

 

浮點數的舍入方式

IEEE浮點格式定義來四種不同的舍入方式。默認的舍入方式是：偶數舍入。

偶數舍入（round-to-even）：找最接近的數值，舍入到這個值；如果有兩個可能的值，將數字向上或向下舍入，使得到的結果的最低有效數字是偶數。

例如，將下面二進制舍入到小數后一位：

　　11.001(2)->舍入：11.0(2)　　11.0是最接近的數值

　　10.010(2)->舍入：10.0(2)      10.0 和 10.1都是最接近的值，但是10.0的最低位為偶數

　　10.110(2) ->舍入：11.0(2)      10.1 和 11.0 都是最接近的值，但是11.0的最低位為偶數

　　

 

浮點運算

我們將 x + ^f y定義為Round(x + y) ，這是對實際運算的精確結果進行舍入后的結果。

浮點加法的特點：

1、浮點加法不具有結合性。（由於可能發生溢出，或者舍入而失去精度）

    float f1=(3.14+10000000000)-10000000000;
    float f2=3.14+(10000000000-10000000000);
    printf("%f %f ",f1,f2);

　　輸出：3.139999 3.140000

2、浮點加法滿足了單調性。

     無符號和補碼加法不具有這個實數加法的屬性（因為溢出的原因）

 

必須非常小心地使用浮點運算，因為浮點運算只有有限的范圍和精度，而且不遵守普遍的算術屬性，比如結合性。

 

 

 

不能表示 VS 不能精確表示

在浮點數的表示范圍內，有多於 99.999…% 的數在計算機中是不能表示的。從數量級分析一下，32bit 浮點數的表示范圍是 10 的 38 次
方，而表示個數呢，是 10 的 10 次方。 能夠被表示的數只有 1/100000000…. （大概有30個零）。詳細內容請見“代碼之謎（五）- 浮點數（誰偷了你的精度？）”

 

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