異或運算及其應用

異或是一種基於二進制的位運算，用符號XOR或者 ^ 表示，

其運算法則是對運算符兩側數的每一個二進制位，同值取0，異值取1。

它與布爾運算的區別在於，當運算符兩側均為1時，布爾運算的結果為1，異或運算的結果為0。

一、異或的性質

1. 交換律：a ^ b = b ^ a
2. 結合律：a ^ b ^ c = a ^ (b ^ c) = (a ^ b) ^ c
3. d = a ^ b ^ c 可以推出 a = d ^ b ^ c
4. 自反性：a ^ b ^ a = b

 

二、異或的應用

交換兩個數

最常見的做法就是增加一個臨時變量，代碼如下：

 

    public void switchValue(int a, int b) {
        System.out.println("Before switch:    a:" + a + "\tb:" + b);
        int temp = b;
        b = a;
        a = temp;
        System.out.println("After switch:    a:" + a + "\tb:" + b);
    }

 

升級版，將兩個數加減來實現，代碼如下：

    public void switchValue(int a, int b) {
        System.out.println("Before switch:    a:" + a + "\tb:" + b);
        a = a + b;
        b = a - b;
        a = a - b;
        System.out.println("After switch:    a:" + a + "\tb:" + b);
    }

利用異或運算，也可以將兩個數交換，例如：

public void switchValue(int a, int b) {
        System.out.println("Before switch:    a:" + a + "\tb:" + b);
        a = a^b;
        b = a^b;
        a = a^b;
        System.out.println("After switch:    a:" + a + "\tb:" + b);
}

 

 算法題目

 ①1-1000放在含有1001個元素的數組中，只有唯一的一個元素值重復，其它均只出現一次。每個數組元素只能訪問一次，設計一個算法，將它找出來；不用輔助存儲空間，能否設計一個算法實現？

解法一：將所有數加起來，減去1+2+...+1000的和。

這個算法已經足夠完美了，相信出題者的標准答案也就是這個算法，唯一的問題是，如果數列過大，則可能會導致溢出。
解法二：異或就沒有這個問題，並且性能更好。將所有的數全部異或，得到的結果與1^2^3^...^1000的結果進行異或，得到的結果就是重復數。

解法一很顯然，解法二需要證明一下：

前面提到異或具有交換律和結合律，所以1^2^...^n^...^n^...^1000，無論這兩個n出現在什么位置，都可以轉換成為1^2^...^1000^(n^n)的形式。
其次，對於任何數x，都有x^x=0，x^0=x。
所以1^2^...^n^...^n^...^1000 = 1^2^...^1000^(n^n)= 1^2^...^1000^0 = 1^2^...^1000（即序列中除了n的所有數的異或）。

令，1^2^...^n^..^1000（序列中包含一個n）的結果為T 
則1^2^..^n^..^n^..^1000（序列中包含2個n）的結果就是T^n。 
T^(T^n)=n。
所以，將所有的數全部異或，得到的結果與1^2^3^...^1000的結果進行異或，得到的結果就是重復數。

 

②一個數組存放若干整數，一個數出現奇數次，其余數均出現偶數次，找出這個出現奇數次的數？

這個其實是①的一個變形題目，最直接的辦法還是和上面一樣，就是把所有數異或 (奇數個異或是本身，偶數個是0)

 

 

參考資料：http://www.cnblogs.com/kaituorensheng/archive/2013/04/04/3000033.html