利用Minhash和LSH尋找相似的集合

問題背景

給出N個集合，找到相似的集合對，如何實現呢？直觀的方法是比較任意兩個集合。那么可以十分精確的找到每一對相似的集合，但是時間復雜度是O(n²)。當N比較小時，比如K級，此算法可以在接受的時間范圍內完成，但是如果N變大時，比B級，甚至P級，那么需要的時間是不能夠被接受的。比如N= 1B = 1,000,000,000。一台計算機每秒可以比較1,000,000,000對集合是否相等。那么大概需要15年的時間才能找到所有相似的集合！

上面的算法雖然效率很低，但是結果會很精確，因為檢查了每一對集合。假如，N個集合中只有少數幾對集合相似，絕大多數集合都不等呢？那么根據上述算法，絕大多數檢測的結果是兩個結合不相似，可以說這些檢測“浪費了計算時間”。所以，如果能找到一種算法，將大體上相似的集合聚到一起，縮小比對的范圍，這樣只用檢測較少的集合對，就可以找到絕大多數相似的集合對，大幅度減少時間開銷。雖然犧牲了一部分精度，但是如果能夠將時間大幅度減少，這種算法還是可以接受的。接下來的內容講解如何使用Minhash和LSH（Locality-sensitive Hashing）來實現上述目的，在相似的集合較少的情況下，可以在O(n)時間找到大部分相似的集合對。

Jaccard相似度

判斷兩個集合是否相等，一般使用稱之為Jaccard相似度的算法（后面用Jac(S₁,S₂)來表示集合S₁和S₂的Jaccard相似度）。舉個列子，集合X = {a,b,c}，Y = {b,c,d}。那么Jac(X,Y) = 2 / 3 = 0.67。也就是說，結合X和Y有67%的元素相同。下面是形式的表述Jaccard相似度公式：

Jac(X,Y) = |X∩Y| / |X∪Y|

也就是兩個結合交集的個數比上兩個集合並集的個數。范圍在[0,1]之間。

降維技術Minhash

原始問題的關鍵在於計算時間太長。所以，如果能夠找到一種很好的方法將原始集合壓縮成更小的集合，而且又不失去相似性，那么可以縮短計算時間。Minhash可以幫助我們解決這個問題。舉個例子，S₁ = {a,d,e}，S₂ = {c, e}，設全集U = {a,b,c,d,e}。集合可以如下表示：

行號	元素	S1	S2	類別
1	a	1	0	Y
2	b	0	0	Z
3	c	0	1	Y
4	d	1	0	Y
5	e	1	1	X

表1

表1中，列表示集合，行表示元素，值1表示某個集合具有某個值，0則相反（X，Y，Z的意義后面討論）。Minhash算法大體思路是：采用一種hash函數，將元素的位置均勻打亂，然后將新順序下每個集合第一個元素作為該集合的特征值。比如哈希函數h₁(i) = (i + 1) % 5，其中i為行號。作用於集合S₁和S₂，得到如下結果：

行號	元素	S1	S2	類別
1	e	1	1	X
2	a	1	0	Y
3	b	0	0	Z
4	c	0	1	Y
5	d	1	0	Y
Minhash		e	e

表2

這時，Minhash(S₁) = e，Minhash(S₂) = e。也就是說用元素e表示S₁，用元素e表示集合S₂。那么這樣做是否科學呢？進一步，如果Minhash(S₁) 等於Minhash(S₂)，那么S₁是否和S₂類似呢？

一個神奇的結論

P(Minhash(S­₁) = Minhash(S₂)) = Jac(S₁,S₂)

在哈希函數h₁均勻分布的情況下，集合S₁的Minhash值和集合S₂的Minhash值相等的概率等於集合S₁與集合S₂的Jaccard相似度，下面簡單分析一下這個結論。

S₁和S₂的每一行元素可以分為三類：

l  X類 均為1。比如表2中的第1行，兩個集合都有元素e。

l  Y類 一個為1，另一個為0。比如表2中的第2行，表明S₁有元素a，而S₂沒有。

l  Z類 均為0。比如表2中的第3行，兩個集合都沒有元素b。

這里忽略所有Z類的行，因為此類行對兩個集合是否相似沒有任何貢獻。由於哈希函數將原始行號均勻分布到新的行號，這樣可以認為在新的行號排列下，任意一行出現X類的情況的概率為|X|/(|X|+|Y|)。這里為了方便，將任意位置設為第一個出現X類行的行號。所以P(第一個出現X類) = |X|/(|X|+|Y|) = Jac(S₁,S₂)。這里很重要的一點就是要保證哈希函數可以將數值均勻分布，盡量減少沖撞。

一般而言，會找出一系列的哈希函數，比如h個（h << |U|），為每一個集合計算h次Minhash值，然后用h個Minhash值組成一個摘要來表示當前集合（注意Minhash的值的位置需要保持一致）。舉個列子，還是基於上面的例子，現在又有一個哈希函數h₂(i) = (i -1)% 5。那么得到如下集合：

行號	元素	S1	S2	類別
1	b	0	0	Z
2	c	0	1	Y
3	d	1	0	Y
4	e	1	1	X
5	a	1	0	Y
Minhash		d	c

表3

所以，現在用摘要表示的原始集合如下：

哈希函數	S1	S2
h1(i) = (i + 1) % 5	e	e
h2(i) = (i - 1) % 5	d	c

表4

從表四還可以得到一個結論，令X表示Minhash摘要后的集合對應行相等的次數（比如表4，X=1，因為哈希函數h₁情況下，兩個集合的minhash相等，h₂不等）：

X ~ B(h,Jac(S₁,S₂))

X符合次數為h，概率為Jac(S₁,S₂)的二項分布。那么期望E(X) = h * Jac(S₁,S₂) = 2 * 2 / 3 = 1.33。也就是每2個hash計算Minhash摘要，可以期望有1.33元素對應相等。

所以，Minhash在壓縮原始集合的情況下，保證了集合的相似度沒有被破壞。

LSH – 局部敏感哈希

現在有了原始集合的摘要，但是還是沒有解決最初的問題，仍然需要遍歷所有的集合對,，才能所有相似的集合對，復雜度仍然是O(n²)。所以，接下來描述解決這個問題的核心思想LSH。其基本思路是將相似的集合聚集到一起，減小查找范圍，避免比較不相似的集合。仍然是從例子開始，現在有5個集合，計算出對應的Minhash摘要，如下：

	S1	S2	S3	S4	S5
區間1	b	b	a	b	a
	c	c	a	c	b
	d	b	a	d	c
區間2	a	e	b	e	d
	b	d	c	f	e
	e	a	d	g	a
區間3	d	c	a	h	b
	a	a	b	b	a
	d	e	a	b	e
區間4	d	a	a	c	b
	b	a	c	b	a
	d	e	a	b	e

表5

上面的集合摘要采用了12個不同的hash函數計算出來，然后分成了B = 4個區間。前面已經分析過，任意兩個集合（S₁，S₂）對應的Minhash值相等的概率r = Jac(S₁，S₂)。先分析區間1，在這個區間內，P(集合S₁等於集合S₂) = r³。所以只要S­₁和S₂的Jaccard相似度越高，在區間1內越有可能完成全一致，反過來也一樣。那么P(集合S₁不等於集合S₂) = 1 - r³。現在有4個區間，其他區間與第一個相同，所以P(4個區間上，集合S₁都不等於集合S₂) = (1 – r³)⁴。P(4個區間上，至少有一個區間，集合S₁等於集合S₂) = 1 - (1 – r³)⁴。這里的概率是一個r的函數，形狀猶如一個S型，如下：

圖1

如果令區間個數為B，每個區間內的行數為C，那么上面的公式可以形式的表示為：

P(B個區間中至少有一個區間中兩個結合相等) = 1 - (1 – r^C)^B

領r = 0.4，C=3，B = 100。上述公式計算的概率為0.9986585。這表明兩個Jaccard相似度為0.4的集合在至少一個區間內沖撞的概率達到了99.9%。根據這一事實，我們只需要選取合適的B和C，和一個沖撞率很低的hash函數，就可以將相似的集合至少在一個區間內沖撞，這樣也就達成了本節最開始的目的：將相似的集合放到一起。具體的方法是為B個區間，准備B個hash表，和區間編號一一對應，然后用hash函數將每個區間的部分集合映射到對應hash表里。最后遍歷所有的hash表，將沖撞的集合作為候選對象進行比較，找出相識的集合對。整個過程是采用O(n)的時間復雜度，因為B和C均是常量。由於聚到一起的集合相比於整體比較少，所以在這小范圍內互相比較的時間開銷也可以計算為常量，那么總體的計算時間也是O(n)。

總結

以上只是描述了Minhash和LSH尋找相似集合的算法框架，作為學習筆記和備忘錄。還有一些算法細節沒有討論。希望后面有機會，可以在海量數據的情況下使用這個算法。

參考資料

[1]       書籍《Mining of Massive Datasets》的第三章Find Similar Item，由Anand Rajaraman，Jure Leskovec和Jeffrey David Ullman著

[2]       Jaccard相似度、minHash、Locality-Sensitive Hashing(LSH)

[3]       Wiki上的Jaccard距離

[4]       Wiki上的Minhash

[5]       Wiki上的LSH