伯努利數（Bernoulli number）

 

 設B₀＝1，當k＞0時，定義

這些B_i(i＝0, 1,…, k)被稱為伯努利數。按定義，自然得出：B₁＝－，B₂＝，B₃＝0，B₄＝－，B₅＝0，B₆＝，B₇＝0，B₈＝－，…。伯努利數是瑞士數學家雅各布·伯努利引入的數，出自於他的著作《猜度術》(1713)。除了B₁外，當k為奇數時，B_k＝0；當k為偶數時，B₂, B₆, B₁₀,…是正分數；B₄, B₈, B₁₂,…是負分數。雅各布·伯努利引入伯努利數的目的是解決所謂“等冪和”的問題：求

     S_k(n)＝1^k＋2^k＋…＋n^k

對於     S₁(n)＝1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)

     S₂(n)＝1²＋2²＋3²＋…＋n²＝n(n＋1)(2n＋1)，

     S₃(n)＝1³＋2³＋3³＋…＋n³＝〔n(n＋1)〕²＝n⁴＋n³＋n²，

     S₄(n)＝l⁴＋2⁴＋3⁴＋…＋n⁴＝n(n＋1)(2n＋1)(3n²＋3n－1)＝n⁵＋n⁴＋n³－n。

到17世紀，已求到了S₁₇(n)，費馬等人由此看出S_k可用S_k-1, S_k-2,…的代數式表示出來。一般地，當k為奇數時

    S_k(n)＝n(n＋1)×(n的多項式)，

當k為偶數時，

    S_k(n)＝n(n＋1)(2n＋1)×(n的多項式)。

最后可證明S_k(n)是n的k＋1次多項式

    S_k(n)＝a₁n＋a₂n²＋…a_k+1n^k+1

但是怎樣求出這些系數a₁, a₂,…, a_k+1呢？雅各布·伯努利求出了系數間的規律性，並且得出了系數的具體表示，其中的關鍵性數列B_k被稱為伯努利數，他給出了一個形式公式

    S_k(n)＝，

注意，這是的B ^k+1≡B _k+1，不是方冪，而是一個形式記法。按此得出

    （k＋1）S_k(n)＝n ^k+1＋（）B₁n ^k＋（）B₂n^k－1＋…＋（）B_kn。

 確定了伯努利數，就解決了等冪和的問題，還可以把伯努利數進行推廣，如定義

中的B_n為伯努利數，其中| x |<2π。伯努利數在數論中有許多用處。如對於佩爾方程

    x²－py²＝－4 (p≡1 (mod 4)是素數)，

      B₁₄    7N．C．安克尼和阿廷曾猜測它的最小解x₀＋y₀滿足py₀。1960年，莫德爾證明了在p≡5(mod 8)時，上述猜想等價於伯努利數     的分子不被p整除。稍后，S．喬拉證明了對p≡5(mod 8)時的同樣結論。在費馬大定理的證明中，德國數學家庫默爾在證明時把素數分為正則素數和非正則素數，並證明了對於正則素數，費馬大定理成立，從而取得費馬大定理證明的第一次突破。而正則素數就是用伯努利數定義的：設p＞3，如果伯努利數B₂，B₃，…，B_p-3的每一個分子都不是p的倍數，這樣的素數p就叫做正則素數，否則叫做非正則素數。下面列出幾個伯努利數的正分子：

      B₁₆    3617

      B₁₈    43667

      B₂₀    174611

      B₂₂    854513

      B₂₄    236364091

伯努利數在數學分析及近似計算中都有着廣泛的應用。