算法題009 電梯調度算法

電梯調度算法

 

題目描述

　　大廈中有電梯，在高峰時間，每層都有人上下，電梯在每層都停。

　　想的解決辦法如下：

　　所有的乘客都從一樓上電梯，每個乘客選擇自己的目的層，之后電梯自動計算出一個樓層。

　　電梯往上走時，只在這個樓層停下來，所有的乘客再從這里爬樓梯到自己的目的樓層。

　　現在就想問，電梯停在哪一層樓，能夠保證這次乘坐電梯的所有乘客爬樓梯的層數之和最少。

 

分析

　　該問題本質上是一個優化問題。

　　首先為這個問題找到一個合適的抽象模型。

　　有兩個因素會影響結果：乘客的數目和乘客的目的樓層。

　　假設樓層總共有N層，電梯停在x層，要去第i層的乘客數目總數為Tot[i]，這樣，所爬樓梯的總數就是:

　　

                                                   

　　因此，我們就是需要找到一個整數x，使得上式的值最小。

 

解法一

　　最為直接的一個解法就是從第一層開始，枚舉x一直到第N層，計算出電梯在第x層樓停的話，所有乘客總共需要爬多少樓。

　　這個算法需要兩重循環來完成。

　　代碼如下：

#include <iostream>
using namespace std;

int main(int argc, char* argv[])
{
    int N = 0;
    int nPerson[100];
    int nFloor, nMinFloor, nTargetFloor;
    nTargetFloor = -1;

    while( cin >> N) //輸入總的樓層
    {
        //進行狀態清零
        nTargetFloor = -1;
        nMinFloor = 0;

        //輸入到每一層的人的個數
        for(int i = 0; i < N; ++i)
        {
            cin >> nPerson[i];
        }

        //開始計算最佳樓層
        for(int i = 0; i < N; ++i)
        {
            //對於每一個樓層，先假設是停在這個樓層

            //用一個變量記錄要步行的樓層總數
            nFloor = 0;

            //假設停在第i層，統計所有人需要步行的樓層總數
            for(int j = 0; j < N; ++j)
            {
                if(j < i)
                {
                    nFloor += nPerson[j] * (i - j);
                }
                else if(j > i)
                {
                    nFloor += nPerson[j] + (j - i);
                }

            }

            //第一次記錄，或者當前結果小於之前最小時，記錄結果

            if(-1 == nTargetFloor || nMinFloor > nFloor)
            {
                nMinFloor = nFloor;
                nTargetFloor = i;
            }
        }

        //輸出計算結果
        cout << "The best floor is:  " << nTargetFloor + 1 << 

endl;

    }

    return 0;
}

 

　　這個基本解法的時間復雜度為O(N²)。

 

解法二

　　假設電梯停在i層，我們可以計算出所有乘客總共需要爬樓梯的層數Y。

　　假設有N1個乘客在i層樓以下，N2個乘客在第i層樓，還有N3個乘客在第i層樓以上。

　　這個時候，如果電梯改停在i-1層，所有目的地在第i層及以上的乘客都需要多爬一層，即N2+N3層，而所有目的地在i-1層及以下的乘客可以少爬一層，總共可以少爬N1層。

　　因此，乘客總共需要爬的層數為Y-N1+N2+N3 = Y-(N1-N2-N3)層。

　　反之，如果電梯在i+1層停，則總共需要爬的層數為Y+(N1+N2-N3)層。

　　由此可見：

　　當N1 > N2 + N3時，i-1層比i層好；

　　當N1 + N2 < N3時，i+1層比i層好。

　　根據這個規律，我們從第一層開始考察，計算各位乘客需要爬樓梯的層數。然后再根據上面的策略進行調整，直到找到最佳樓層。

#include <iostream>
using namespace std;

int main(int argc, char* argv[])
{
    int N = 0;
    int nPerson[100];
    int nMinFloor, nTargetFloor;
    int N1, N2, N3;


    while( cin >> N) //輸入總的樓層
    {
        //輸入到每一層的人的個數
        for(int i = 0; i < N; ++i)
        {
            cin >> nPerson[i];
        }

        //進行狀態清零
        nTargetFloor = 0;
        nMinFloor = 0;

        N1 = 0; 
        N2 = nPerson[0];
        N3 = 0;

        for (int i = 1; i < N; ++i)
        {
            N3 += nPerson[i];
            nMinFloor += nPerson[i] * (i - 1);
        }

        for(int i = 1; i < N; ++i)
        {
            if(N1 + N2 < N3)
            {
                nTargetFloor = i;
                nMinFloor +=(N1 + N2 - N3);

                N1 += N2;
                N2 = nPerson[i];
                N3 -= N2;
            }
            else
            {
                //否則第i層的結果已經最小，故不需要計算第i+1層 
                break;
            }
        }



        //輸出計算結果
        cout << "The best floor is:  " << nTargetFloor + 1 << endl;

    }

    return 0;
}

 

　　總的時間復雜度將降為O(N)。

 

參考資料

　　《編程之美》1.8節

　　相關博客：http://www.cppblog.com/jake1036/archive/2011/06/29/149720.html?opt=admin

 

　　PS:

　　每天更新有點扛不住了，還是不要強求每天了。。。