一般的求冪再對10取余會超時，用快速冪
#include <iostream> #include <cstdio> using namespace std; int mod_exp(int a, int b, int c) //快速冪取余a^b%c { int res, t; res = 1 % c; t = a % c; while (b) { if (b & 1) { res = res * t % c; } t = t * t % c; b >>= 1; } return res; } int main() { int T; cin >> T; while (T--) { int n; cin >> n; cout << mod_exp(n, n, 10) << endl; } system("pause"); return 0; }
下面是一個快速冪的介紹：
先貼一個秦九韶算法（Horner算法）的原理：
設有
項的
次函數
將前項提取公因子
，得
再將括號內的前
項提取公因子，得
如此反復提取公因子，最后將函數化為
令
......
則
即為所求
下面是講解快速冪的：（By 夜せ︱深 感謝作者）
快速冪取模算法
在網站上一直沒有找到有關於快速冪算法的一個詳細的描述和解釋，這里，我給出快速冪算法的完整解釋，用的是C語言，不同語言的讀者只好換個位啦，畢竟讀C的人較多~
所謂的快速冪，實際上是快速冪取模的縮寫，簡單的說，就是快速的求一個冪式的模(余)。在程序設計過程中，經常要去求一些大數對於某個數的余數，為了得到更快、計算范圍更大的算法，產生了快速冪取模算法。[有讀者反映在講快速冪部分時有點含糊，所以在這里對本文進行了修改，作了更詳細的補充，爭取讓更多的讀者一目了然]
我們先從簡單的例子入手：求a^b % c = ?
算法1.首先直接地來設計這個算法：
int ans = 1;
for(int i = 1;i<=b;i++)
{
ans = ans * a;
}
ans = ans % c;
這個算法的時間復雜度體現在for循環中，為O（b）.這個算法存在着明顯的問題，如果a和b過大，很容易就會溢出。
那么，我們先來看看第一個改進方案：在講這個方案之前，要先有這樣一個公式：a^b%c=(a%c)^b%c.這個公式大家在離散數學或者數論當中應該學過，不過這里為了方便大家的閱讀，還是給出證明：
引理1：a^b%c = (a%c)^b%c
上面公式為下面公式的引理，即積的取余等於取余的積的取余。
證明了以上的公式以后，我們可以先讓a關於c取余，這樣可以大大減少a的大小，
於是不用思考的進行了改進：
算法2：
int ans = 1;
a = a % c; //加上這一句
for(int i = 1;i<=b;i++)
{
ans = ans * a;
}
ans = ans % c;
聰明的讀者應該可以想到，既然某個因子取余之后相乘再取余保持余數不變，那么新算得的ans也可以進行取余，所以得到比較良好的改進版本。
算法3：
int ans = 1;
a = a % c; //加上這一句
for(int i = 1;i<=b;i++)
{
ans = (ans * a) % c;//這里再取了一次余
}
ans = ans % c;
這個算法在時間復雜度上沒有改進，仍為O(b)，不過已經好很多的，但是在c過大的條件下，還是很有可能超時，所以，我們推出以下的快速冪算法。
快速冪算法依賴於以下明顯的公式，我就不證明了。
那么我們可以得到以下算法：
算法4：
int ans = 1;
a = a % c;
if(b%2==1)
ans = (ans * a) mod c; //如果是奇數，要多求一步，可以提前算到ans中
k = (a*a) % c; //我們取a2而不是a
for(int i = 1;i<=b/2;i++)
{
ans = (ans * k) % c;
}
ans = ans % c;
我們可以看到，我們把時間復雜度變成了O(b/2).當然，這樣子治標不治本。但我們可以看到，當我們令k = (a * a) mod c時，狀態已經發生了變化，我們所要求的最終結果即為(k)b/2 mod c而不是原來的ab mod c，所以我們發現這個過程是可以迭代下去的。當然，對於奇數的情形會多出一項a mod c，所以為了完成迭代，當b是奇數時，我們通過
ans = (ans * a) % c;來彌補多出來的這一項，此時剩余的部分就可以進行迭代了。
形如上式的迭代下去后，當b=0時，所有的因子都已經相乘，算法結束。於是便可以在O（log b）的時間內完成了。於是，有了最終的算法：快速冪算法。
算法5：快速冪算法
int ans = 1;
a = a % c;
while(b>0)
{
if(b % 2 == 1)
ans = (ans * a) % c;
b = b/2;
a = (a * a) % c;
}
將上述的代碼結構化，也就是寫成函數：
int PowerMod(int a, int b, int c)
{
int ans = 1;
a = a % c;
while(b>0)
{
if(b % 2 = = 1)
ans = (ans * a) % c;
b = b/2;
a = (a * a) % c;
}
return ans;
}
本算法的時間復雜度為O（logb），能在幾乎所有的程序設計（競賽）過程中通過，是目前最常用的算法之一。
以下內容僅供參考：
擴展：有關於快速冪的算法的推導，還可以從另一個角度來想。
=？ 求解這個問題，我們也可以從進制轉換來考慮：
將10進制的b轉化成2進制的表達式：
注意此處的要么為0，要么為1，如果某一項，那么這一項就是1，這個對應了上面算法過程中b是偶數的情況，為1對應了b是奇數的情況[不要搞反了，讀者自己好好分析，可以聯系10進制轉2進制的方法]，我們從依次乘到。對於每一項的計算，計算后一項的結果時用前一項的結果的平方取余。對於要求的結果而言，為時ans不用把它乘起來，[因為這一項值為1]，為1項時要乘以此項再取余。這個算法和上面的算法在本質上是一樣的，讀者可以自行分析，這里我說不多說了，希望本文有助於讀者掌握快速冪算法的知識點，當然，要真正的掌握，不多練習是不行的。