順序統計樹和區間樹都是對紅黑樹的擴張：通過在節點添加字段完成其他的功能，如果該字段可以在 $O(1)$ 時間內維護，就能夠不影響紅黑樹本身操作效率漸進量級。
順序統計樹
順序統計樹是紅黑樹的擴展：在紅黑樹的每個節點額外維護一個域size，記錄以該節點為根的子樹中的總結點個數。順序統計數具有這樣的功能：在 $O(\lg n)$ 時間內找到樹中所有元素的第 $i$ 個順序量。以下是一棵順序統計樹：
練習14.1-4 寫出一個遞歸過程OS-KEY-RANK(T,k)使得順序統計樹T和某個關鍵字k為輸入，輸出k的秩（排序）。
思路：簡單的遞歸：
- 如果關鍵字等於根節點，返回根節點左子樹的size再加上1（這是根節點的秩）；
- 如果關鍵字小於根節點，返回該關鍵字在根節點左子樹中的秩；
- 如果關鍵字大於根節點，返回該關鍵字在根節點右子樹中的秩加上左子樹的size加上1。
OS-KEY-RANK(r,k)if r = nil return 0 if k < key[r] return OS-KEY-RANK(left[r],k) if k > key[r] return OS-KEY-RANK(right[r],k)+size[left[r]]+1 if k = key[r] return size[left[r]]+1
練習14.1-5 給定含有 $n$ 個元素的順序統計樹中的一個元素 $x$ 和一個自然數 $i$，如何在 $O(\lg n)$ 的時間內找到元素 $x$ 的第 $i$ 個后繼？
思路：就是中序遍歷，但由於每個節點有size域，所以當子樹里不可能符合條件時，可以直接跳過：
- 如果 $i=0$ 后繼，直接返回 $x$ 本身；
- 如果 $x$ 右子樹size大於等於 $i$ ，說明需要找的元素在右子樹中，就采取OS-SELECT（題目中沒有，正文中）方法找出右子樹中第 $i$ 順序量。
- 否則需要找的元素不在右子樹中，就去找最近的祖先節點，且節點x必須在祖先節點的左子樹中。對該祖先節點遞歸調用本方法，但是參數 $i$ 必須減去 $x$ 的右子樹的size。這樣理解：中序遍歷中，會先遍歷 $x$ 的右子樹，再回到祖先節點上。
- 如果找不到左祖先節點，說明 $i$ 太大了，樹中不存在這樣的后繼。
OS-SUCCESSOR(x,i) if i = 0 return x if size[right[x]] < i t = size[right[x]] while s = father[x] if left[s] = x return OS-SUCCESSOR(s,i-t) if s = nil return nil x = s if size[right[x]] >= i return OS-SELECT(right[x],i)
練習14.1-7 說明如何在 $O(n\lg n)$ 時間代價內，利用順序統計樹對大小為 $n$ 的數組中的逆序對計數。
思路：按照原數組的順序，依次插入元素，構建順序統計樹。每次插入完成一個元素 $x$ 后，通過size域計算出該元素的順序統計量 $i$（如練習14.1-4），進而得到在這棵順序統計樹中，比 $x$ 大的節點有多少個：這部分比 $x$ 大的節點實際上就與 $x$ 構成了逆序對，因為他們在 $x$ 之前插入了順序統計樹，說明在原數組中他們排在 $x$ 的前面。每插入一個元素之后就將該數目累加起來，最后求得逆序對的數目。
練習14.1-8 一個圓上有 $n$ 條弦，每條弦都是按照端點來定義的。給出一個能在 $O(n\lg n)$ 時間內確定圓內相交弦的對數。
思路：如果將圓從某個點剪斷，並拉成直線，，圓上的所有縣都變成了互相平行的線段，那么相交的弦的特點是：有重疊區域。每條弦有2個頂點，左端點和右端點，為每條弦創建一個代號，然后開始遍歷2n個點：
- 如果是左端點，那么就將該端點對應的弦的代號，以左端點的位置為關鍵字，插入到順序統計樹中；
- 如果右端點，那么就將該端點對應的弦的代號從順序統計樹中刪除。
在每條弦被刪除之前，立刻統計一下樹中現存的，關鍵字大於該弦的元素（如練習14.1-4）個數，這就是與待刪除節點相交的弦的個數，因為這些弦：關鍵字值大於待刪除的弦，說明其左端點在待刪除弦的左端點右側；在待刪除弦馬上就要被刪除的時候，讓然還沒被刪除，說明其右端點在待刪除節點的右側。所有而且僅有這樣的弦與待刪除的弦相交。
區間樹
區間樹是紅黑樹的另一種擴展，每個元素表示一個動態區間。紅黑樹用到的關鍵字值是區間樹的區間左端點值。以下是一個區間樹及其所表示的區間：
區間樹的節點還擴展了一個域max，就是以該節點為根的子樹的所有區間元素的右端點的最大值。該域很容易在 $O(1)$ 時間內維護：那就是左子結點的max、右子結點的max和自身區間的右端點三者的最大值。
區間樹提供一些與區間有關的操作，比如判斷一個區間有沒有與區間樹中的任何一個區間元素有交集，判斷一個點是否落在區間樹中的任意一個區間元素中。
練習14.3-6 說明如何維護一個支持操作MIN-GAP的動態數集Q，該操作能夠給出Q中所有元素距離最近的兩個。
思路：擴展紅黑樹，，將Q中的元素值作為關鍵字，在紅黑樹的每個節點上維護如下三個域：
- min-gap表示子樹中所有元素，每兩個元素中的最小距離；
- min表示樹中所有元素最小值；
- max表示樹中所有元素最大值。
問題的重點在min-gap域的維護上。min-gap應當這樣維護：它應當是一下幾個值得最小值：
- 左節點的min-gap域
- 右節點的min-gap域
- 左節點max域與本節點值的差
- 右節點min域與本節點值的差
練習14.3-7 VLSL數據庫將一塊集成電路表示為一個矩形，每個矩形的兩邊分別平行於x軸和y軸。給出一個算法，在 $O(n\lg n)$ 確定n個矩形中是否有兩個有重疊區域。
思路：將n塊矩形的左邊界，右邊界值排序為具有2n個元素的數組X，類似練習14.1-8，開始遍歷X：
- 如果遍歷到的元素x為某個矩形的左邊界，那么將該矩形的上下邊界作為一個區間插入到區間樹中；
- 如果遍歷到的元素x為某個矩形的右邊界，那么將該矩形的上下邊界區間從區間樹中刪除。
在刪除區間之前，判斷一下在區間樹中是否有其他元素和待刪除的區間有重疊區域。如果有，則找出了重疊區域。數組X已排序，並且插入和刪除順序保證了兩個矩形在x軸上有重疊，而區間樹保證了兩個矩形在y軸上有重疊，因此兩個矩陣有重疊區域。
思考題14-1 有一組區間，如何盡可能快地找到最大重疊點：即與該點有重疊區域的區間的數目最多。
思路：直觀上，最大重疊點一定可以是端點，因為最大重疊點和非最大重疊點的分界，一定是某個區間具有端點造成的。這樣考慮：
- 將所有端點組織成紅黑樹，增加一個域p，左節點為1，右節點為-1。
- 然后在節點中再維護一個域s，表示以該節點為根的子樹中所有元素的p的和。某個節點的重疊數就是該節點左節點的s域：因為s表示，在這個節點上，已經開始（+1）但沒有結束的（-1）的區間的個數。s域的維護也很簡單，就是左子樹的s加上右子樹的s再加上自身的p。
- 最大重疊數也維護在節點中，為域m，表示以該節點為根的子樹中所有元素的最大重疊數。m的維護是：m為左節點的最大重疊數、右節點的最大重疊數和自己的最大重疊數三者的最大值。
思考題14-2 Josephus環。假設n個人排成一圈，給定一個正整數m<n，從某人開始報數，遇到第m個人就讓其出圈，並進行下去直到所有人出圈，給出一個算法來獲得這n個人出圈的順序。
- 如果m是個常數，那么在$O(n)$內。
用環形鏈表也好，因為$m=O(1)$，所以直接遍歷每個元素，每m次刪除一個元素，獲得出圈序列的一個值。 - 如果m不是常數，那么在$O(n\lg n)$內。
順序統計樹最重要的意義是，可以在$O(\lg n)$時間內訪問第$i$順序量（注意$i$不是常數）。第1問中，實際上遍歷了mn次，但m是常數，所以效率還是$O(n)$。而在這里，m不是常數，因此可以將所有元素組織成順序統計樹，每次訪問並刪除一個節點的耗費是$O(\lg n)$，總耗費就是$O(n\lg n)$。