各向同性下的應力應變關系

換算公式
均質各向同性線彈性材料具有獨特的彈性性質，因此知道彈性模量中的任意兩種，就可由下列換算公式求出其他所有的彈性模量。
	$(\lambda,\,G)$	$(E,\,G)$	$(K,\,\lambda)$	$(K,\,G)$	$(\lambda,\,\nu)$	$(G,\,\nu)$	$(E,\,\nu)$	$(K,\, \nu)$	$(K,\,E)$	$(M,\,G)$
$K=\,$	$\lambda+ \tfrac{2G}{3}$	$\tfrac{EG}{3(3G-E)}$			$\tfrac{\lambda(1+\nu)}{3\nu}$	$\tfrac{2G(1+\nu)}{3(1-2\nu)}$	$\tfrac{E}{3(1-2\nu)}$			$M - \tfrac{4G}{3}$
$E=\,$	$\tfrac{G(3\lambda + 2G)}{\lambda + G}$		$\tfrac{9K(K-\lambda)}{3K-\lambda}$	$\tfrac{9KG}{3K+G}$	$\tfrac{\lambda(1+\nu)(1-2\nu)}{\nu}$	$2G(1+\nu)\,$		$3K(1-2\nu)\,$		$\tfrac{G(3M-4G)}{M-G}$
$\lambda=\,$		$\tfrac{G(E-2G)}{3G-E}$		$K-\tfrac{2G}{3}$		$\tfrac{2 G \nu}{1-2\nu}$	$\tfrac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}$	$\tfrac{3K\nu}{1+\nu}$	$\tfrac{3K(3K-E)}{9K-E}$	$M - 2G\,$
$G=\,$			$\tfrac{3(K-\lambda)}{2}$		$\tfrac{\lambda(1-2\nu)}{2\nu}$		$\tfrac{E}{2(1+\nu)}$	$\tfrac{3K(1-2\nu)}{2(1+\nu)}$	$\tfrac{3KE}{9K-E}$
$\nu=\,$	$\tfrac{\lambda}{2(\lambda + G)}$	$\tfrac{E}{2G}-1$	$\tfrac{\lambda}{3K-\lambda}$	$\tfrac{3K-2G}{2(3K+G)}$					$\tfrac{3K-E}{6K}$	$\tfrac{M - 2G}{2M - 2G}$
$M=\,$	$\lambda+2G\,$	$\tfrac{G(4G-E)}{3G-E}$	$3K-2\lambda\,$	$K+\tfrac{4G}{3}$	$\tfrac{\lambda(1-\nu)}{\nu}$	$\tfrac{2G(1-\nu)}{1-2\nu}$	$\tfrac{E(1-\nu)}{(1+\nu)(1-2\nu)}$	$\tfrac{3K(1-\nu)}{1+\nu}$	$\tfrac{3K(3K+E)}{9K-E}$

體積模量可由下式定義：

$K=-V\frac{\partial p}{\partial V}$

其中 $p$ 為壓強， $V$ 為體積， $\frac{\partial p}{\partial V}$ 是壓強對體積的偏導數，單位Pa也就是帕斯卡。體積模量的倒數即為一種物質的壓縮率。

還有其他一些描述材料對應變的反應的物理量。比如剪切模量描述了材料對剪切應變的反應；而楊氏模量則描述了材料對線性應變的反應。對流體而言，只有體積模量具有意義。而對於不具有各向同性的固體材料（如紙、木等），上述三種彈性模量則不足以描述這些材料對應變的反應。

楊氏模數（Young's modulus）是材料力學中的名詞。彈性材料承受正向應力時會產生正向應變，在形變量沒有超過對應材料的一定彈性限度時，定義正向應力與正向應變的比值為這種材料的楊氏模量。公式記為

$E = \frac {\sigma } {\epsilon}$

其中， $E$ 表示楊氏模數， $\sigma$ 表示正向應力， $\epsilon$ 表示正向應變。

楊氏模量的因次同壓力，在SI單位制中，壓力的單位為Pa也就是帕斯卡。

但是通常在工程的使用中，因各材料楊氏模量的量值都十分的大，所以常以百萬帕斯卡（MPa）或十億帕斯卡（GPa）作為其單位。

$1\ \mathrm{MPa}=\mathrm1\times10^6\ \mathrm{Pa}=1\ \begin{matrix} \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{mm}^2} \end{matrix}$ (1牛頓每平方毫米為1MPa)
$1\ \mathrm{GPa}=\mathrm1\times10^9\ \mathrm{Pa}=1\ \begin{matrix} \frac{\mathrm{kN}}{\mathrm{mm}^2} \end{matrix}$ (1千牛頓每平方毫米為1GPa)

剪力模數（shear modulus）是材料力學中的名詞，彈性材料承受剪應力時會產生剪應變，定義為剪應力與剪應變的比值。公式記為

$G = \frac {\tau } {\gamma}$

其中， $G\,$ 表示剪力模數， $\tau\,$ 表示剪應力， $\gamma\,$ 表示剪應變。在均質且等向性的材料中：

$G = {E \over {2(1 + \nu)}}$

其中， $E\,$ 是楊氏模數(Young's modulus )， $\nu\,$ 是泊松比(Poisson's ratio)。

泊松比（英語：Poisson's ratio），又譯蒲松比，是材料力學和彈性力學中的名詞，定義為材料受拉伸或壓縮力時，材料會發生變形，而其橫向變形量與縱向變形量的比值，是一無量綱(無因次)的物理量。

當材料在一個方向被壓縮，它會在與該方向垂直的另外兩個方向伸長，這就是泊松現象，泊松比是用來反映柏松現象的無量綱的物理量。

在均勻各向同性材料中，剪切模量G、楊氏模量E 和泊松比 $\nu$ 三個量中只有兩個是獨立的，它們之間存在以下關系：

$G = \frac{E} {2(1+\nu)}$

在線性彈性力學中，拉梅參數包括以下兩個參數：

拉梅參數λ，又稱拉梅第一參數
剪切模量μ，又稱拉梅第二參數，也可記為 $G$

上述參數的條件是各向同性材料，並在三維中滿足胡克定律。

$\sigma=2\mu \varepsilon +\lambda \; \mathrm{tr}(\varepsilon)I$

其中σ是應力，ε是應變張量， $\scriptstyle I$ 是單位矩陣， $\scriptstyle\mathrm{tr}(\cdot)$ 是跡函數。

第一參數λ沒有物理解釋，但其有助於化簡胡克定律的剛度矩陣。兩個參數構建了均質各向同性介質的彈性模量的參數化形式，並與其他彈性模量形成了聯系。

利用彈性力學理論中的彈性常數和實際工程應用中使用的彈性模量之間的關系，以上的關系還可寫成其他形式，譬如下面這組方程用應力張量來表示了應變張量：

$\begin{cases} \varepsilon_{11} = \cfrac{1}{Y}\left( \sigma_{11} - \nu(\sigma_{22}+\sigma_{33}) \right)\\ \varepsilon_{22} = \cfrac{1}{Y}\left( \sigma_{22} - \nu(\sigma_{11}+\sigma_{33}) \right)\\ \varepsilon_{33} = \cfrac{1}{Y}\left( \sigma_{33} - \nu(\sigma_{11}+\sigma_{22}) \right)\\ \varepsilon_{12} = \cfrac{\sigma_{12}}{2G}\\ \varepsilon_{13} = \cfrac{\sigma_{13}}{2G}\\ \varepsilon_{23} = \cfrac{\sigma_{23}}{2G} \end{cases}$

式中Y 稱為楊氏模量， $\nu$ 為泊松比。

各向同性下的應力應變關系

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