各向同性下的应力应变关系

换算公式
均质各向同性线弹性材料具有独特的弹性性质，因此知道弹性模量中的任意两种，就可由下列换算公式求出其他所有的弹性模量。
	$(\lambda,\,G)$	$(E,\,G)$	$(K,\,\lambda)$	$(K,\,G)$	$(\lambda,\,\nu)$	$(G,\,\nu)$	$(E,\,\nu)$	$(K,\, \nu)$	$(K,\,E)$	$(M,\,G)$
$K=\,$	$\lambda+ \tfrac{2G}{3}$	$\tfrac{EG}{3(3G-E)}$			$\tfrac{\lambda(1+\nu)}{3\nu}$	$\tfrac{2G(1+\nu)}{3(1-2\nu)}$	$\tfrac{E}{3(1-2\nu)}$			$M - \tfrac{4G}{3}$
$E=\,$	$\tfrac{G(3\lambda + 2G)}{\lambda + G}$		$\tfrac{9K(K-\lambda)}{3K-\lambda}$	$\tfrac{9KG}{3K+G}$	$\tfrac{\lambda(1+\nu)(1-2\nu)}{\nu}$	$2G(1+\nu)\,$		$3K(1-2\nu)\,$		$\tfrac{G(3M-4G)}{M-G}$
$\lambda=\,$		$\tfrac{G(E-2G)}{3G-E}$		$K-\tfrac{2G}{3}$		$\tfrac{2 G \nu}{1-2\nu}$	$\tfrac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}$	$\tfrac{3K\nu}{1+\nu}$	$\tfrac{3K(3K-E)}{9K-E}$	$M - 2G\,$
$G=\,$			$\tfrac{3(K-\lambda)}{2}$		$\tfrac{\lambda(1-2\nu)}{2\nu}$		$\tfrac{E}{2(1+\nu)}$	$\tfrac{3K(1-2\nu)}{2(1+\nu)}$	$\tfrac{3KE}{9K-E}$
$\nu=\,$	$\tfrac{\lambda}{2(\lambda + G)}$	$\tfrac{E}{2G}-1$	$\tfrac{\lambda}{3K-\lambda}$	$\tfrac{3K-2G}{2(3K+G)}$					$\tfrac{3K-E}{6K}$	$\tfrac{M - 2G}{2M - 2G}$
$M=\,$	$\lambda+2G\,$	$\tfrac{G(4G-E)}{3G-E}$	$3K-2\lambda\,$	$K+\tfrac{4G}{3}$	$\tfrac{\lambda(1-\nu)}{\nu}$	$\tfrac{2G(1-\nu)}{1-2\nu}$	$\tfrac{E(1-\nu)}{(1+\nu)(1-2\nu)}$	$\tfrac{3K(1-\nu)}{1+\nu}$	$\tfrac{3K(3K+E)}{9K-E}$

体积模量可由下式定义：

$K=-V\frac{\partial p}{\partial V}$

其中 $p$ 为压强， $V$ 为体积， $\frac{\partial p}{\partial V}$ 是压强对体积的偏导数，单位Pa也就是帕斯卡。体积模量的倒数即为一种物质的压缩率。

还有其他一些描述材料对应变的反应的物理量。比如剪切模量描述了材料对剪切应变的反应；而杨氏模量则描述了材料对线性应变的反应。对流体而言，只有体积模量具有意义。而对于不具有各向同性的固体材料（如纸、木等），上述三种弹性模量则不足以描述这些材料对应变的反应。

楊氏模數（Young's modulus）是材料力學中的名詞。彈性材料承受正向應力時會產生正向應變，在形变量没有超过对应材料的一定弹性限度时，定義正向應力與正向應變的比值为这种材料的杨氏模量。公式記為

$E = \frac {\sigma } {\epsilon}$

其中， $E$ 表示楊氏模數， $\sigma$ 表示正向應力， $\epsilon$ 表示正向應變。

楊氏模量的因次同壓力，在SI單位制中，壓力的單位為Pa也就是帕斯卡。

但是通常在工程的使用中，因各材料楊氏模量的量值都十分的大，所以常以百萬帕斯卡（MPa）或十億帕斯卡（GPa）作為其單位。

$1\ \mathrm{MPa}=\mathrm1\times10^6\ \mathrm{Pa}=1\ \begin{matrix} \frac{\mathrm{N}}{\mathrm{mm}^2} \end{matrix}$ (1牛顿每平方毫米为1MPa)
$1\ \mathrm{GPa}=\mathrm1\times10^9\ \mathrm{Pa}=1\ \begin{matrix} \frac{\mathrm{kN}}{\mathrm{mm}^2} \end{matrix}$ (1千牛顿每平方毫米为1GPa)

剪力模數（shear modulus）是材料力學中的名詞，彈性材料承受剪應力時會產生剪應變，定義為剪應力與剪應變的比值。公式記為

$G = \frac {\tau } {\gamma}$

其中， $G\,$ 表示剪力模數， $\tau\,$ 表示剪應力， $\gamma\,$ 表示剪應變。在均質且等向性的材料中：

$G = {E \over {2(1 + \nu)}}$

其中， $E\,$ 是楊氏模數(Young's modulus )， $\nu\,$ 是泊松比(Poisson's ratio)。

泊松比（英语：Poisson's ratio），又译蒲松比，是材料力學和弹性力学中的名詞，定義為材料受拉伸或壓縮力時，材料會發生變形，而其橫向變形量與縱向變形量的比值，是一无量纲(無因次)的物理量。

当材料在一个方向被压缩，它会在与该方向垂直的另外两个方向伸长，这就是泊松现象，泊松比是用来反映柏松现象的无量纲的物理量。

在均匀各向同性材料中，剪切模量G、杨氏模量E 和泊松比 $\nu$ 三个量中只有两个是独立的，它们之间存在以下关系：

$G = \frac{E} {2(1+\nu)}$

在线性弹性力学中，拉梅参数包括以下两个参数：

拉梅参数λ，又称拉梅第一参数
剪切模量μ，又称拉梅第二参数，也可记为 $G$

上述参数的条件是各向同性材料，并在三维中满足胡克定律。

$\sigma=2\mu \varepsilon +\lambda \; \mathrm{tr}(\varepsilon)I$

其中σ是应力，ε是应变张量， $\scriptstyle I$ 是單位矩陣， $\scriptstyle\mathrm{tr}(\cdot)$ 是跡函数。

第一参数λ没有物理解释，但其有助於化简胡克定律的刚度矩阵。两个参数构建了均质各向同性介质的弹性模量的参数化形式，并与其他弹性模量形成了联系。

利用弹性力学理论中的弹性常数和实际工程应用中使用的弹性模量之间的关系，以上的关系还可写成其他形式，譬如下面这组方程用应力张量来表示了应变张量：

$\begin{cases} \varepsilon_{11} = \cfrac{1}{Y}\left( \sigma_{11} - \nu(\sigma_{22}+\sigma_{33}) \right)\\ \varepsilon_{22} = \cfrac{1}{Y}\left( \sigma_{22} - \nu(\sigma_{11}+\sigma_{33}) \right)\\ \varepsilon_{33} = \cfrac{1}{Y}\left( \sigma_{33} - \nu(\sigma_{11}+\sigma_{22}) \right)\\ \varepsilon_{12} = \cfrac{\sigma_{12}}{2G}\\ \varepsilon_{13} = \cfrac{\sigma_{13}}{2G}\\ \varepsilon_{23} = \cfrac{\sigma_{23}}{2G} \end{cases}$

式中Y 称为杨氏模量， $\nu$ 为泊松比。

各向同性下的应力应变关系

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