各種特殊矩陣總結

本文轉載自查看原文 2012-12-02 19:39 4340

一般在實際運用中，矩陣本身或者都需要化成特殊的形式。列出一些常用的矩陣形式。

reference: en.wikipedia.org

1. Toeplitz matrix，形如

$\begin{bmatrix} a & b & c & d & e \\ f & a & b & c & d \\ g & f & a & b & c \\ h & g & f & a & b \\ i & h & g & f & a \end{bmatrix}.$

2. Hankel matix，形如

$\begin{bmatrix} a & b & c & d & e \\ b & c & d & e & f \\ c & d & e & f & g \\ d & e & f & g & h \\ e & f & g & h & i \\ \end{bmatrix}.$

剛好和就是toeplitz的transpose

3. Degree matrix，這個和拓撲學有關了，此矩陣只有main diagonal上有非零值，代表的是對應edge(node)所連接的vetices的數量（如果自循環則算兩個）

$G=(V,E)$ ， $\|V\|=n$

對該圖形而言，這個E對應的位置就應該填上n。每個E都算完后，其余位置均為0。

4. Adjacency matrix，也和拓撲學有關，為僅有1或者0的矩陣。

如果兩個edge之間有vertex相連，則對應位置填1。因為這個性質，此矩陣為symmetric的，main diagonal上的1表示自循環。

5. Laplacian matix。由上面兩位計算得到

L=D-A

6. Circulant matrix, T的變種，如下

$C= \begin{bmatrix} c_0 & c_{n-1} & \dots & c_{2} & c_{1} \\ c_{1} & c_0 & c_{n-1} & & c_{2} \\ \vdots & c_{1}& c_0 & \ddots & \vdots \\ c_{n-2} & & \ddots & \ddots & c_{n-1} \\ c_{n-1} & c_{n-2} & \dots & c_{1} & c_0 \\ \end{bmatrix}.$

7. Symplectic matrix

指滿足這個條件的M（2n*2n）矩陣： $M^T \Omega M = \Omega\,.$

其中，另一個矩陣必須是nonsingular, skew-symmetric matrix.，例如選　　 $\Omega = \begin{bmatrix} 0 & I_n \\ -I_n & 0 \\ \end{bmatrix}$

是一個block matrix，I是單位矩陣(identity matix)。

8. Vandermonde matrix，形如

$V=\begin{bmatrix} 1 & \alpha_1 & \alpha_1^2 & \dots & \alpha_1^{n-1}\\ 1 & \alpha_2 & \alpha_2^2 & \dots & \alpha_2^{n-1}\\ 1 & \alpha_3 & \alpha_3^2 & \dots & \alpha_3^{n-1}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\ 1 & \alpha_m & \alpha_m^2 & \dots & \alpha_m^{n-1} \end{bmatrix}$

9. Hessenberg matrix

Hessenberg matrix is a special kind of square matrix, one that is "almost" triangular. To be exact, an upper Hessenberg matrix has zero entries below the first subdiagonal, and a lower Hessenberg matrix has zero entries above the first superdiagonal

例如：upper Hessenberg matrix

$\begin{bmatrix} 1 & 4 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 1 & 7 \\ 0 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ \end{bmatrix}$

10. Hessian matrix

對於實數函數 $f(x_1, x_2, \dots, x_n),\,\!$ 求二階偏導（second-order partial derivatives），如下

$H(f) = \begin{bmatrix} \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} & \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_1\,\partial x_2} & \cdots & \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_1\,\partial x_n} \\[2.2ex] \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_2\,\partial x_1} & \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} & \cdots & \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_2\,\partial x_n} \\[2.2ex] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\[2.2ex] \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_n\,\partial x_1} & \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_n\,\partial x_2} & \cdots & \dfrac{\partial^2 f}{\partial x_n^2} \end{bmatrix}.$

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