AVL樹

AVL（Adelson-Velskii and Landis）樹是帶有平衡條件（balance condition）的二叉查找樹。這個平衡條件必須容易保持，而且必須保證樹的深度是O(logN)。AVL樹規定其每個結點的左子樹和右子樹的高度最多差1。如下圖，左邊的樹是AVL樹，右邊的則不是。

AVL樹的每個結點（在其結點結構中）保留高度信息。可以證明，一般情況下，一棵AVL樹的高度最多為1.44log(N+2) – 1.328，並且實際上的高度只比logN稍微多一點。

下圖顯示了一棵具有最少結點（143）高度為9的AVL樹。這棵樹的左子樹是高度為7且結點數最少的AVL樹，右子樹是高度為8且結點數最少的AVL樹。可以看出在高度為h的AVL樹中，最少結點數S(h)=S(h-1) + S(h-2) + 1。對於h=0，S(h) = 1；h=1，S(h)=2。函數S(h)與斐波那契數密切相關，由此可以推出上面的關於AVL樹的高度的界。

除了插入操作（假設刪除是懶惰刪除），所有的AVL樹操作都可以以時間O(logN)執行。當進行插入操作時，需要更新通向根節點路徑上的那些結點的平衡信息，因為插入操作可能會破壞AVL樹的平衡特性。如果AVL樹的平衡被破壞，就要進行修正，這里稱其為旋轉（rotation）。

假設結點a的左子樹和右子樹失去平衡（高度差2），則可能的情況有下面4種：

1. 對a的左兒子的左子樹進行一次插入。

2. 對a的左兒子的右子樹進行一次插入。

3. 對a的右兒子的左子樹進行一次插入。

4. 對a的右兒子的右子樹進行一次插入。

情形1和4關於結點a對稱，情形2和3關於結點a對稱，所以理論上只有兩種情況，不過從編程的角度來看還是4種情形。

第一種情況是插入發生在“外邊”的情形（即“左-左”或“右-右”），該情況通過對樹的一次單旋轉（single rotation）完成調整。第二種情況是插入發生在“內部”的情形（即“左-右”或“右-左”），該情況通過稍微復雜些的雙旋轉（double rotation）完成調整。

單旋轉

下圖顯示了對於情形1如何進行單旋轉。左邊是旋轉前，右邊是旋轉后。在左邊的樹中，子樹X中新插入了一個結點使得結點k₂不再滿足AVL平衡性質，因為它的左子樹比右子樹深2層（圖中間的虛線代表樹的各層）。

上圖中為了使樹恢復平衡，把子樹X上移了一層，把子樹Z下移了一層。這其實已經超額完成了AVL性質的要求。抽象的形容一下單旋轉的過程：把樹看成是柔軟靈活的，抓住子結點k₁，用力搖動它，在重力的作用下，k₁就變成了新的根。X和Z仍然分別是k₁的左兒子和k₂的右兒子。子樹Y包含原樹中介於k₁和k₂之間的那些結點，現在把它放在新樹中k₂的左兒子的位置上。這樣，所有對順序的要求都得到滿足，旋轉后得到的新樹是一棵AVL樹。不僅如此，其實上圖中經過單旋轉所得到的新樹的高度，和插入新節點（導致原樹不平衡）之前原樹的高度相同，所以通向根節點的路徑上的那些結點不需要進一步調整（它們仍然是平衡的）。下圖是一次單旋轉的例子：

下圖演示應於“情形4”的單旋轉修正：

下面演示一個更長一些的例子，從初始的空AVL樹開始插入3、2和1，然后依序插入4到7。在插入1時，AVL性質在根處被破壞。於是在根結點與其左兒子之間執行一次單旋轉以修正這個問題。

圖中以虛線連接的那兩個結點是旋轉的主體。接着插入4和5，在插入5時破壞了結點3處的AVL性質，通過單旋轉將其修正。在編程的時候必須記住：結點2的右兒子必須重新設置以鏈接到4而不是3，這一點很容易忘記，從而導致樹被破壞。

接着插入6，根節點處失去平衡，因為它的左子樹高度為0而右子樹高度為2。在根節點2和結點4之間執行一次單旋轉。

接着插入7，再次執行單旋轉。

 

雙旋轉

對於平衡二叉樹失衡的情況2、3，使用單旋轉是無效的。

此時需要使用雙旋轉（兩次旋轉：“左-右”或“右-左”） 

 

上圖中，樹B或樹C中有一棵比D深兩層。為了重新平衡，選擇k₂作為新的根，k₁作k₂的左兒子，k₃作k₂的右兒子。與單旋轉一樣，把樹恢復到插入新節點之前的水平。下圖是“右-左”雙旋轉。

 

繼續單旋轉時的示例，以倒序插入10-16，接着插入8、9。插入16時並不破壞樹的平衡。插入15時引起結點7的不平衡，這屬於情況3，需要做一次“右-左”雙旋轉。

接着插入14，同樣也需要做一次“右-左”雙旋轉。結合上面的“右-左雙旋轉修正情形3”示意圖，子樹A的根結點為5，子樹B為空樹，子樹C的根結點為14，子樹D的根結點為16。

 插入13，在根結點處失衡。由於13不在4和7之間，所以是上面介紹的失衡情況4（對失衡結點4的右兒子的右子樹進行一次插入），這里需要做一次單旋轉（左旋）。

 插入12也需要做一次單旋轉（右旋）。

 接着插入11、10、8（未作旋轉圖示），得到下面一棵近乎理想的平衡樹。

 最后插入9，需要在8、9、10三個結點之間做“左-右”雙旋轉。

在編程時，需要計算子樹的高度差。有些程序員會在結點的存儲結構中，增加一個BF成員（Balance Factor：平衡因子）。這樣可以避免平衡因子的重復計算，提高程序的性能，不過卻喪失了程序的某些簡明性。

下面是一部分例程：

struct AvlNode
{
    Comparable element;
    AvlNode   *left;
    AvlNode   *right;
    int       height;

    AvlNode( const Comparable & theElement, AvlNode *lt,
                                            AvlNode *rt, int h = 0 )
      : element( theElement ), left( lt ), right( rt ), height( h ) { }
};

/**
 * Return the height of node t or -1 if NULL.
 */
int height( AvlNode *t ) const
{
    return t == NULL ? -1 : t->height;
}

/**
 * Internal method to insert into a subtree.
 * x is the item to insert.
 * t is the node that roots the subtree.
 * Set the new root of the subtree.
 */
void insert( const Comparable & x, AvlNode * & t )
{
    if( t == NULL )
        t = new AvlNode( x, NULL, NULL );
    else if( x < t->element )
    {
        insert( x, t->left );
        if( height( t->left ) - height( t->right ) == 2 )
            if( x < t->left->element )
                rotateWithLeftChild( t );
            else
                doubleWithLeftChild( t );
    }
    else if( t->element < x )
    {
        insert( x, t->right );
        if( height( t->right ) - height( t->left ) == 2 )
            if( t->right->element < x )
                rotateWithRightChild( t );
            else
                doubleWithRightChild( t );
    }
    else
        ;  // Duplicate; do nothing
    t->height = max( height( t->left ), height( t->right ) ) + 1;
}

下面是單旋轉函數rotateWithLeftChild的示意圖和源碼。rotateWithRightChild是對稱的，所以未貼出。

 

/**
 * Rotate binary tree node with left child.
 * For AVL trees, this is a single rotation for case 1.
 * Update heights, then set new root.
 */
void rotateWithLeftChild( AvlNode * & k2 )
{
    AvlNode *k1 = k2->left;
    k2->left = k1->right;
    k1->right = k2;
    k2->height = max( height( k2->left ), height( k2->right ) ) + 1;
    k1->height = max( height( k1->left ), k2->height ) + 1;
    k2 = k1;
}

下面是“左-右”雙旋轉函數doubleWithLeftChild示意圖和源代碼，doubleWithRightChild是對稱的。

/**
 * Double rotate binary tree node: first left child
 * with its right child; then node k3 with new left child.
 * For AVL trees, this is a double rotation for case 2.
 * Update heights, then set new root.
 */
void doubleWithLeftChild( AvlNode * & k3 )
{
    rotateWithRightChild( k3->left );
    rotateWithLeftChild( k3 );
}

Reference:

[1] 《數據結構與算法分析c++描述》