【0】README
0.0） 本文部分idea 轉自：http://blog.csdn.net/collonn/article/details/20128205
0.1） 本文僅針對性地分析AVL樹的單旋轉（左左單旋轉和右右單旋轉）和 雙旋轉（左右雙旋轉和右左單旋轉）的內部核心技巧；
0.2） 不得不提的是，旋轉有兩個屬性： 軸 和 旋轉方向； （旋轉軸即是原最小樹經過旋轉修正后的符合AVL的最小樹的根節點）
0.3） 旋轉軸的確定 ： （干貨——單雙旋轉的旋轉軸確定問題）
- 0.3.1）單旋轉：旋轉軸為 不滿足AVL條件的最小樹的樹根的相應孩子節點；
- 0.3.2）多旋轉：旋轉軸為 不滿足AVL條件的最小樹的樹根的相應孫子節點；
【1】 如何判斷進行單旋轉還是雙旋轉 （什么時候需要單旋轉，而什么時候需要多旋轉？）
1.0）高度不平衡需要α點的兩棵子樹高度差為2，故可得高度不平衡可能出現在下面四種情況中：
① 對α的左兒子的左子樹進行一次插入。
② 對α的左兒子的右子樹進行一次插入。
③ 對α的右兒子的左子樹進行一次插入。
④ 對α的右兒子的右子樹進行一次插入。
1.1）單旋轉： 插入點不介於 不滿足AVL條件的樹根 和 樹根對應孩子節點之間； （情形①、③ 即 左-左、右-右）
1.2）雙旋轉：插入點介於 不滿足AVL條件的樹根 和 樹根對應孩子節點之間；（情形②、④ 即 左-右、右-左）
【2】單旋轉
2.1）左左旋轉（順時針旋轉）： 從插入點回溯到第一個不滿足AVL條件的節點；本例中，插入點是10， 而第一個不滿足AVL條件的節點是30；將回溯路徑上的節點除節點30外，上移一層，節點30下移一層；
- case1）
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 |
| （這是一個左右雙旋轉特例，當不符合AVL條件的樹根和插入點的父節點只有一個子節點，且相反方向的子節點，當然了，插入點要介於樹根和插入點父節點之間的話，才滿足 雙旋轉特例的條件） |
Attention）
-
A1）因為10 小於 20 且 小於30； 所以通過一次單旋轉就可以完成；
（也即是， 左左單旋轉時， 不滿足AVL條件的最小樹的根應該下移，該樹的其他節點上移，而不管該樹的左子樹的右孩子或者存在或者不存在，在旋轉過程中，都要把該左子樹的的右孩子添加以作為最小樹根的左孩子，因為即使不存在，添加null 也不影響最后的旋轉效果） -
case2）
2.2）右右旋轉（逆時針旋轉）： 從插入點回溯到第一個不滿足AVL條件的節點；本例中，插入點是10， 而第一個不滿足AVL條件的節點是30；將回溯路徑上的節點除節點30外，上移一層，節點30下移一層；
- case1
（這是一個右左雙旋轉特例，當不符合AVL條件的樹根和插入點的父節點只有一個子節點，且相反方向的子節點，當然了，插入點要介於樹根和插入點父節點之間的話，才滿足 雙旋轉特例的條件）
Attention）
-
A1）因為10 小於 20 且 小於30； 所以通過一次單旋轉就可以完成；
（也即是， 右右單旋轉時， 不滿足AVL條件的最小樹的根應該下移，該樹的其他節點上移，而不管該樹的右子樹的左孩子或者存在或不存在，在旋轉過程中，都要把該右子樹的左孩子添加以作為最小樹根的右孩子，因為即使不存在，添加null 也不影響最后的 旋轉效果） -
case2）為什么經過右右單旋轉就可以修正成為 AVL 樹；因為 new point = 13 不在 4 和 7 之間， 所以一次單旋轉就可以了，無需雙旋轉；
（也就是說，new point 介於不滿足AVL條件的樹根和其孩子之間的話，那么就需要雙旋轉， 否則， 只需要 單旋轉就可以了）
Conclusion of single rotation）單旋轉有兩個屬性： 軸 和 旋轉方向
-
C1）單旋轉的軸： 相信你也看到了， 單旋轉的軸顯然是不符合AVL條件的樹根的直接孩子；
- C1.1）左左單旋轉的軸：是不符合AVL條件的樹根的左孩子；
- C1.2）右右單旋轉的軸：是不符合AVL條件的樹根的右孩子；
-
C2）旋轉方向：
- C2.1）左左單旋轉方向：順時針方向；
- C2.2）右右單旋轉方向：逆時針方向；
【3】雙旋轉
3.1）左右雙旋轉： （先左左單旋轉，再右右單旋轉； 即先順時針旋轉，后逆時針旋轉）
- case1）因為47 介於 40 和 50 之間， 所以肯定需要雙旋轉；
3.2）右左雙旋轉：先將節點15向上提，還是不滿足AVL樹的條件，再把節點7向上提；（先右右單旋轉，再左左單旋轉； 即先逆時針旋轉，后順時針旋轉） 
Conclusion of double rotations） 雙旋轉有兩個屬性： 軸 和 旋轉方向
-
C1）雙旋轉的軸：相信你也看到了， 雙旋轉的軸顯然是插入點的直接父節點；（除了兩個特例） （干貨——雙旋轉的軸顯然是插入點的直接父節點（除了兩個特例， 而兩個特例的軸是插入點本身））
- C1.1）左右單旋轉的軸：插入點的父節點；
- C1.2）右左單旋轉的軸：插入點的父節點；
-
C2）旋轉方向：
- C2.1）左右單旋轉方向：先右右單旋轉，再左左單旋轉；即先逆時針旋轉，再順時針旋轉；
- C2.2）右左單旋轉方向：先左左單旋轉，再右右單旋轉；即先順時針旋轉，再逆時針旋轉；
【4】示例圖與代碼參考
4.1）LL的旋轉
圖中左邊是旋轉之前的樹，右邊是旋轉之后的樹。從中可以發現，旋轉之后的樹又變成了AVL樹，而且該旋轉只需要一次即可完成。
LL的旋轉代碼：
/* * LL：左左對應的情況(左單旋轉)。 * * 返回值：旋轉后的根節點 */ private AVLTreeNode<T> leftLeftRotation(AVLTreeNode<T> k2) { AVLTreeNode<T> k1; k1 = k2.left; k2.left = k1.right; k1.right = k2; k2.height = max( height(k2.left), height(k2.right)) + 1; k1.height = max( height(k1.left), k2.height) + 1; return k1; }
4.2）RR的旋轉
圖中左邊是旋轉之前的樹，右邊是旋轉之后的樹。RR旋轉也只需要一次即可完成。
RR的旋轉代碼：
/* * RR：右右對應的情況(右單旋轉)。 * * 返回值：旋轉后的根節點 */ private AVLTreeNode<T> rightRightRotation(AVLTreeNode<T> k1) { AVLTreeNode<T> k2; k2 = k1.right; k1.right = k2.left; k2.left = k1; k1.height = max( height(k1.left), height(k1.right)) + 1; k2.height = max( height(k2.right), k1.height) + 1; return k2; }
4.3）LR的旋轉
第一次旋轉是圍繞"k1"進行的"RR旋轉"，第二次是圍繞"k3"進行的"LL旋轉"。
LR的旋轉代碼：
/* * LR：左右對應的情況(左雙旋轉)。 * * 返回值：旋轉后的根節點 */ private AVLTreeNode<T> leftRightRotation(AVLTreeNode<T> k3) { k3.left = rightRightRotation(k3.left); return leftLeftRotation(k3); }
4.4）RL的旋轉
第一次旋轉是圍繞"k3"進行的"LL旋轉"，第二次是圍繞"k1"進行的"RR旋轉"。
RL的旋轉代碼：
/* * RL：右左對應的情況(右雙旋轉)。 * * 返回值：旋轉后的根節點 */ private AVLTreeNode<T> rightLeftRotation(AVLTreeNode<T> k1) { k1.right = leftLeftRotation(k1.right); return rightRightRotation(k1); }
綜上，最后的整體插入代碼為：
/* * 將結點插入到AVL樹中，並返回根節點 * * 參數說明： * tree AVL樹的根結點 * key 插入的結點的鍵值 * 返回值： * 根節點 */ private AVLTreeNode<T> insert(AVLTreeNode<T> tree, T key) { if (tree == null) { // 新建節點 tree = new AVLTreeNode<T>(key, null, null); if (tree==null) { System.out.println("ERROR: create avltree node failed!"); return null; } } else { int cmp = key.compareTo(tree.key); if (cmp < 0) { // 應該將key插入到"tree的左子樹"的情況 tree.left = insert(tree.left, key); // 插入節點后，若AVL樹失去平衡，則進行相應的調節。 if (height(tree.left) - height(tree.right) == 2) { if (key.compareTo(tree.left.key) < 0) tree = leftLeftRotation(tree); else tree = leftRightRotation(tree); } } else if (cmp > 0) { // 應該將key插入到"tree的右子樹"的情況 tree.right = insert(tree.right, key); // 插入節點后，若AVL樹失去平衡，則進行相應的調節。 if (height(tree.right) - height(tree.left) == 2) { if (key.compareTo(tree.right.key) > 0) tree = rightRightRotation(tree); else tree = rightLeftRotation(tree); } } else { // cmp==0 System.out.println("添加失敗：不允許添加相同的節點！"); } } tree.height = max( height(tree.left), height(tree.right)) + 1; return tree; } public void insert(T key) { mRoot = insert(mRoot, key); }