最近有同學面試的時候，被問了這么一道題：
說有A,B,C三個盒子，其中只有一個盒子里面有寶貝，但是你不知道是哪個盒子。現在你隨機的拿過來一個盒子，但是你自己不能看你拿的盒子里是否是寶貝。現在你的對手翻開了剩下的兩個盒子中的一個，並且是空盒子，即里面沒有寶貝。現在問你：是否要用你手里的盒子去換剩下的那個沒有被翻開過的盒子？
對於這個問題，可謂是爭論不休。有人說不必要換，因為你手里的盒子是寶物的概率現在為1/2，和對手一樣。又有一些人說，你手里的盒子是寶物的概率是1/3，而沒有翻開的剩下的那個盒子是寶物的概率是2/3。同樣一個問題，卻有兩種解釋方法，並且看上去都有道理。那么為什么出現這種情況呢？如果我說大家爭論的焦點與對手是否知道哪個盒子中有寶貝有關，你會感覺到意外嗎？
在這里我給出的答案會讓大家感覺到不可思議：如果你的對手也不知道哪個盒子里有寶貝，那么就沒必要換。如果你的對手知道哪個盒子里面有寶貝，那么你就要換。
（1）給一個非常直觀的解釋。假設你和你的對手都不知道哪個盒子里面有寶貝，現在你隨機選取一個盒子，那么他隨機的翻開剩下的兩個盒子中的一個。如果這樣重復300次，你會發現其中有100次，對手會翻開一個有寶物的盒子，所以符合要求的局面只有200次。而你選擇的那個盒子里有寶貝會出現100次，那么對手剩下的那個沒翻開的盒子是寶貝的次數也是100次。在200次合法局面的大背景下，你手里的盒子中有寶貝的概率是1/2，對手沒有翻開的那個盒子中有寶貝的概率也是1/2。那么這么看來，確實沒必要交換。
（2）如果假設對手知道盒子里有寶貝，那么你就必須得換。按照上面的過程，重復300次，那么這300次全都是合法局面，因為我們前提是對手必須翻開一個沒有寶貝的盒子。而你拿到寶貝的次數為100次，剩下的那個盒子里有寶貝的次數將是200次。所以，在300次合法局面的大背景下，你手里的盒子中有寶貝的概率為1/3，對手沒有翻開的那個盒子有寶貝的概率為2/3。那么這么看來，確實要換。
從(1),(2)兩種情況來看，概率的不同取決於對手知不知道哪個盒子中有寶貝，繼而影響了合法局面的次數。那么，現在的問題是不論對手知不知道盒子中有寶貝，我們的最優策略是什么呢？
答案是：堅決要換。因為情況(1)中換和不換都沒有差別，情況(2)中換比較合適，而你並不知道對手到底知不知道那個盒子里面有寶貝，那么換還是比較合適。
對於上面的解釋可能並不是很理性，下面給出一個理論上得解釋。
設事件X：我隨機選取一個盒子，並且是寶貝。
事件Y：對手隨機翻開剩下的兩個盒子中的一個，並且是空盒。
事件Z： 桌子上剩下的那個沒有翻開的盒子是寶貝。
那么(1)所描述的是一個條件概率即：Y事件發生時，X發生的概率。
顯然P(X)=1/3, P(Y)=(1/3)*1+(2/3)*(1/2)=2/3，P(Z)=1/3*0+(2/3)*(1/2)=1/3
P(X|Y) = P(XY)/P(Y) = P(X)*P(Y|X)/P(Y) = (1/3)*1/(2/3)=1/2。
P(Z|Y) = P(ZY)/P(Y) = P(Z)*P(Y|Z)/P(Y) = (1/3)*1/(2/3)=1/2。
事件Y就是我說的那個合法局面的大背景。
而對於情況(2)
設事件X: 我隨機選取一個盒子，並且是寶貝。
事件Y: 對手必須翻開剩下的兩個盒子中的一個空盒。
事件Z: 桌子上剩下的那個沒有翻開的盒子是寶貝。
顯然P(X)=1/3, P(Y)=(1/3)*1+2/3*1=1 P(Z)=1/3*0+2/3*1=2/3
如果非得也用條件概率來說明的話：
P(X|Y) = P(XY)/P(Y) = P(X)*P(Y|X)/P(Y) = (1/3)*1/1=1/3。
P(Z|Y) = P(ZY)/P(Y) = P(Z)*P(Y|Z)/P(Y) = (2/3)*1/1=2/3。