題目:
已知兩個1~30之間的數字,甲知道兩數之和,⼄知道兩數之積。
甲問⼄:"你知道是哪兩個數嗎?"⼄說:"不知道";
⼄問甲:"你知道是哪兩個數嗎?"甲說:"也不知道";
於是,⼄說:"那我知道了";
隨后甲也說:"那我也知道了";
這兩個數是什么?
答案:
允許兩數重復的情況下
答案為x=1 ,y=4 ;甲知道和A=x+y=5,⼄知道積B=x*y=4
不允許兩數重復的情況下有兩種答案
答案1:為x=1 ,y=6 ;甲知道和A=x+y=7,⼄知道積B=x*y=6
答案2:為x=1 ,y=8 ;甲知道和A=x+y=9,⼄知道積B=x*y=8
解:
設這兩個數為x,y.
甲知道兩數之和 A=x+y;
⼄知道兩數之積 B=x*y;
該題分兩種情況 :
允許重復, 有(1 <= x <= y <= 30);
不允許重復,有(1 <= x < y <= 30) ;
當不允許重復,即(1 <= x < y <= 30) ;
1)由題設條件:⼄不知道答案
<=> B=x*y 解不唯⼀
=> B=x*y 為非質數
又∵ x ≠ y
∴ B ≠ k*k (其中k∈ N)
結論(推論1):
B=x*y 非質數且 B ≠ k*k (其中k∈ N)
即:B ∈ (6,8,10,12,14,15,18,20...)
證明過程略。
2)由題設條件:甲不知道答案
<=> A=x+y 解不唯⼀
=> A >= 5;
分兩種情況:
A=5 ,A=6 時x,y有雙解
A>=7 時x,y有三重及三重以上解
假設 A=x+y=5
則有雙解
x1=1,y1=4;
x2=2,y2=3
代入公式B=x*y:
B1=x1*y1=1*4=4;(不滿足推論1,舍去)
B2=x2*y2=2*3=6;
得到唯⼀解x=2 ,y=3 即甲知道答案。
與題設條件:"甲不知道答案"相矛盾,
故假設不成立,A=x+y≠5
假設 A=x+y=6
則有雙解。
x1=1,y1=5;
x2=2,y2=4
代入公式B=x*y:
B1=x1*y1=1*5=5;(不滿足推論1,舍去)
B2=x2*y2=2*4=8;
得到唯⼀解x=2 ,y=4
即甲知道答案
與題設條件:"甲不知道答案"相矛盾
故假設不成立,A=x+y≠6
當A>=7時
∵ x,y的解至少存在兩種滿足推論1的解
B1=x1*y1=2*(A-2)
B2=x2*y2=3*(A-3)
∴ 符合條件
結論(推論2):A >= 7
3)由題設條件:⼄說"那我知道了"
=>⼄通過已知條件B=x*y及推論(1)(2)可以得出唯⼀解
即:
A=x+y, A >= 7
B=x*y, B ∈ (6,8,10,12,14,15,16,18,20...)
1 <= x < y <= 30
x,y存在唯⼀解
當 B=6 時:有兩組解
x1=1,y1=6
x2=2,y2=3 (∵ x2+y2=2+3=5 < 7∴不合題意,舍去)
得到唯⼀解 x=1,y=6
當 B=8 時:有兩組解
x1=1,y1=8
x2=2,y2=4 (∵ x2+y2=2+4=6 < 7∴不合題意,舍去)
得到唯⼀解 x=1,y=8
當 B>8 時:容易證明均為多重解
結論:
當B=6 時有唯⼀解 x=1,y=6 當B=8 時有唯⼀解 x=1,y=8
4)由題設條件:甲說"那我也知道了"
=> 甲通過已知條件A=x+y及推論(3) 可以得出唯⼀解
綜上所述,原題所求有兩組解:
x1=1,y1=6
x2=1,y2=8
當x<=y時,有(1 <= x <= y <= 30);
同理可得唯⼀解 x=1,y=4