甲知道兩數之和,⼄知道兩數之積,求兩數字


題目:

已知兩個1~30之間的數字,甲知道兩數之和,⼄知道兩數之積。
甲問⼄:"你知道是哪兩個數嗎?"⼄說:"不知道";
⼄問甲:"你知道是哪兩個數嗎?"甲說:"也不知道";
於是,⼄說:"那我知道了";
隨后甲也說:"那我也知道了";
這兩個數是什么?

答案:

允許兩數重復的情況下
  答案為x=1 ,y=4 ;甲知道和A=x+y=5,⼄知道積B=x*y=4
  不允許兩數重復的情況下有兩種答案
  答案1:為x=1 ,y=6 ;甲知道和A=x+y=7,⼄知道積B=x*y=6
  答案2:為x=1 ,y=8 ;甲知道和A=x+y=9,⼄知道積B=x*y=8
  解:
  設這兩個數為x,y.
  甲知道兩數之和 A=x+y;
  ⼄知道兩數之積 B=x*y;
  該題分兩種情況 :
  允許重復, 有(1 <= x <= y <= 30);
  不允許重復,有(1 <= x < y <= 30) ;
  當不允許重復,即(1 <= x < y <= 30) ;
  1)由題設條件:⼄不知道答案
  <=> B=x*y 解不唯⼀
  => B=x*y 為非質數
  又∵ x  ≠ y
  ∴ B  ≠ k*k (其中k∈ N)
  結論(推論1):
  B=x*y 非質數且 B  ≠ k*k (其中k∈ N)
  即:B ∈ (6,8,10,12,14,15,18,20...)
  證明過程略。
  2)由題設條件:甲不知道答案
  <=> A=x+y 解不唯⼀
  => A >= 5;
  分兩種情況:
  A=5 ,A=6 時x,y有雙解
  A>=7 時x,y有三重及三重以上解
  假設 A=x+y=5
  則有雙解
  x1=1,y1=4;
  x2=2,y2=3
  代入公式B=x*y:
  B1=x1*y1=1*4=4;(不滿足推論1,舍去)
  B2=x2*y2=2*3=6;
  得到唯⼀解x=2 ,y=3 即甲知道答案。
  與題設條件:"甲不知道答案"相矛盾,
  故假設不成立,A=x+y≠5
  假設 A=x+y=6
  則有雙解。
  x1=1,y1=5;
  x2=2,y2=4
  代入公式B=x*y:
  B1=x1*y1=1*5=5;(不滿足推論1,舍去)
  B2=x2*y2=2*4=8;
  得到唯⼀解x=2 ,y=4
  即甲知道答案
  與題設條件:"甲不知道答案"相矛盾
  故假設不成立,A=x+y≠6
  當A>=7時
  ∵ x,y的解至少存在兩種滿足推論1的解
  B1=x1*y1=2*(A-2)
  B2=x2*y2=3*(A-3)
  ∴ 符合條件
  結論(推論2):A >= 7
  3)由題設條件:⼄說"那我知道了"
  =>⼄通過已知條件B=x*y及推論(1)(2)可以得出唯⼀解
  即:
  A=x+y, A >= 7
  B=x*y, B  ∈ (6,8,10,12,14,15,16,18,20...)
  1 <= x < y <= 30
  x,y存在唯⼀解
  當 B=6 時:有兩組解
  x1=1,y1=6
  x2=2,y2=3 (∵ x2+y2=2+3=5 < 7∴不合題意,舍去)
  得到唯⼀解 x=1,y=6
  當 B=8 時:有兩組解
  x1=1,y1=8
  x2=2,y2=4 (∵ x2+y2=2+4=6 < 7∴不合題意,舍去)
  得到唯⼀解 x=1,y=8
  當 B>8 時:容易證明均為多重解
  結論:
  當B=6 時有唯⼀解 x=1,y=6 當B=8 時有唯⼀解 x=1,y=8
  4)由題設條件:甲說"那我也知道了"
  => 甲通過已知條件A=x+y及推論(3) 可以得出唯⼀解
  綜上所述,原題所求有兩組解:
  x1=1,y1=6
  x2=1,y2=8
  當x<=y時,有(1 <= x <= y <= 30);
  同理可得唯⼀解 x=1,y=4

 


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