最大間隙問題

問題描述：已知一個整數數組a[]，其長度為n，要找出數組中相鄰元素的最大間距。

分析：問題很簡單，而且描述本身就暗示了一種自然的求解方法，即先對元素排序，然后逐個求相鄰元素的間距。這種解法的復雜度為O(n*logn)。再想一下，設min, max分別是數組中的最小和最大元素，len = (max-min)/n-1那么最大間距maxGap >= len。把a分成長度為len的區間，即[min, min+len), [min+len, min+2*len), ..., [max-len, max]，最大間距一定是落在相鄰的兩個區間，或者不相鄰但中間區間沒有元素的兩個區間，並且是在前一個區間的最大值和后一個區間的最小值之間產生。所以只需找出每一個區間的最大值和最小值，然后掃描一遍就能求出最大間距。

#define MAXINT (1<<31)-1
#define MININT 1<<31
typedef struct _bucket
{
    int min, max;
} Bucket;

int maxGap(int *a, int n)
{
    int max = MININT, min = MAXINT, i;
    double bucketLen;
    for(i = 0; i < n; ++i)
    {
        if(a[i] > max) max = a[i];
        if(a[i] < min) min = a[i];
    }
    bucketLen = (max-min) * 1.0 / (n-1);
    Bucket *bucket = new Bucket[n-1];
    for(i = 0; i < n-1; ++i)
    {
        bucket[i].max = MININT;
        bucket[i].min = MAXINT;
        
    }
    bucket[0].max = min; bucket[0].min = min;
    bucket[n-2].max = max; bucket[n-2].min = max;
    for(i = 0; i < n; ++i)
    {
        int index;
        if(a[i] != min && a[i] != max)
        {
            index = (a[i]-min) * 1.0 / bucketLen;
            if(bucket[index].max < a[i]) bucket[index].max = a[i];
            if(bucket[index].min > a[i]) bucket[index].min = a[i];
        }
    }
    int low = -1, high = -1, maxGap = 0, curGap, pre = 0;
    for(i = 1; i < n-1; ++i)
    {
        if(bucket[i].max != MININT)
        {
            curGap = bucket[i].min - bucket[pre].max;
            if(curGap > maxGap)
            {
                maxGap = curGap;
                low = bucket[pre].max, high = bucket[i].min;
            }
            pre = i;
        }
    }
    printf("the maximum gap is %d, between %d and %d!\n", maxGap, low, high);
    return maxGap;
}

int main()
{
    int a[] = {1,8,4,5,6};
    maxGap(a,5);
    return 0;
}

這種將元素分段（也可以叫做分桶）的思想也可用於求解找出位於多個不同機器上的第k大元素的問題，這類問題的描述如下：

有n個不同位置的主機，每個主機上有很多的整數，要求找出所有主機上的第k大到第k+m大的元素。算法應該使主機之間的通信量盡可能地小。

算法思想：

1. 選一個適當的桶大小len, 統計每個主機落在每個桶中的元素數目

2. 將1得到的統計信息匯總起來，確定第k大到第k+m大的元素位於哪些桶中

3. 將各個主機上這些桶中的元素集中到一起，再用排序或者最小堆找出第k大元素到第k+m大元素

這種方法關鍵在於桶大小的選取，太大的話上面算法第3步傳輸的數據會比較多，太小第2步傳輸的統計信息又會比較多。理想狀態下第k大到第k+m大的元素位於一個桶中，這樣只需要傳輸一個桶大小的數據。所以，可以把桶大小選為和m一個量級。