最大间隙问题

问题描述：已知一个整数数组a[]，其长度为n，要找出数组中相邻元素的最大间距。

分析：问题很简单，而且描述本身就暗示了一种自然的求解方法，即先对元素排序，然后逐个求相邻元素的间距。这种解法的复杂度为O(n*logn)。再想一下，设min, max分别是数组中的最小和最大元素，len = (max-min)/n-1那么最大间距maxGap >= len。把a分成长度为len的区间，即[min, min+len), [min+len, min+2*len), ..., [max-len, max]，最大间距一定是落在相邻的两个区间，或者不相邻但中间区间没有元素的两个区间，并且是在前一个区间的最大值和后一个区间的最小值之间产生。所以只需找出每一个区间的最大值和最小值，然后扫描一遍就能求出最大间距。

#define MAXINT (1<<31)-1
#define MININT 1<<31
typedef struct _bucket
{
    int min, max;
} Bucket;

int maxGap(int *a, int n)
{
    int max = MININT, min = MAXINT, i;
    double bucketLen;
    for(i = 0; i < n; ++i)
    {
        if(a[i] > max) max = a[i];
        if(a[i] < min) min = a[i];
    }
    bucketLen = (max-min) * 1.0 / (n-1);
    Bucket *bucket = new Bucket[n-1];
    for(i = 0; i < n-1; ++i)
    {
        bucket[i].max = MININT;
        bucket[i].min = MAXINT;
        
    }
    bucket[0].max = min; bucket[0].min = min;
    bucket[n-2].max = max; bucket[n-2].min = max;
    for(i = 0; i < n; ++i)
    {
        int index;
        if(a[i] != min && a[i] != max)
        {
            index = (a[i]-min) * 1.0 / bucketLen;
            if(bucket[index].max < a[i]) bucket[index].max = a[i];
            if(bucket[index].min > a[i]) bucket[index].min = a[i];
        }
    }
    int low = -1, high = -1, maxGap = 0, curGap, pre = 0;
    for(i = 1; i < n-1; ++i)
    {
        if(bucket[i].max != MININT)
        {
            curGap = bucket[i].min - bucket[pre].max;
            if(curGap > maxGap)
            {
                maxGap = curGap;
                low = bucket[pre].max, high = bucket[i].min;
            }
            pre = i;
        }
    }
    printf("the maximum gap is %d, between %d and %d!\n", maxGap, low, high);
    return maxGap;
}

int main()
{
    int a[] = {1,8,4,5,6};
    maxGap(a,5);
    return 0;
}

这种将元素分段（也可以叫做分桶）的思想也可用于求解找出位于多个不同机器上的第k大元素的问题，这类问题的描述如下：

有n个不同位置的主机，每个主机上有很多的整数，要求找出所有主机上的第k大到第k+m大的元素。算法应该使主机之间的通信量尽可能地小。

算法思想：

1. 选一个适当的桶大小len, 统计每个主机落在每个桶中的元素数目

2. 将1得到的统计信息汇总起来，确定第k大到第k+m大的元素位于哪些桶中

3. 将各个主机上这些桶中的元素集中到一起，再用排序或者最小堆找出第k大元素到第k+m大元素

这种方法关键在于桶大小的选取，太大的话上面算法第3步传输的数据会比较多，太小第2步传输的统计信息又会比较多。理想状态下第k大到第k+m大的元素位于一个桶中，这样只需要传输一个桶大小的数据。所以，可以把桶大小选为和m一个量级。