第五章 樹形結構
一、選擇題
1．已知一算術表達式的中綴形式為 A+B*C-D/E，后綴形式為ABC*+DE/-，其前綴形式為(D )
A．-A+B*C/DE B.-A+B*CD/E C．-+*ABC/DE D. -+A*BC/DE
2．算術表達式a+b*（c+d/e）轉為后綴表達式后為（ B ）
A．ab+cde/* B．abcde/+*+ C．abcde/*++ D．abcde*/++3. 設有一表示算術表達式的二叉樹（見下圖），
它所表示的算術表達式是（ C ）
A. A*B+C/(D*E)+(F-G) B. (A*B+C)/(D*E)+(F-G)
C. (A*B+C)/(D*E+（F-G）) D. A*B+C/D*E+F-G
4. 設樹T的度為4，其中度為1，2，3和4的結點個數分別為4，2，1，1 則T中的葉子數為（ D ）
A．5 B．6 C．7 D．8
5. 在下述結論中，正確的是（ D ）
①只有一個結點的二叉樹的度為0; ②二叉樹的度為2； ③二叉樹的左右子樹可任意交換;
④深度為K的完全二叉樹的結點個數小於或等於深度相同的滿二叉樹。
A．①②③ B．②③④ C．②④ D．①④
6. 設森林F對應的二叉樹為B，它有m個結點，B的根為p,p的右子樹結點個數為n,森林F中第一棵樹的結點個數是（ A ）
A．m-n B．m-n-1 C．n+1 D．條件不足，無法確定
7. 樹是結點的有限集合，它（ (1）)根結點，記為T。其余結點分成為m（m>0）個(（2）)的集合T1，T2， …，Ｔm，每個集合又都是樹，此時結點T稱為Ti的父結點，Ti稱為T的子結點（1≤i≤m）。一個結點的子結點個數稱為該結點的( （3） )。二叉樹與樹是兩個不同的概念，二叉樹也是結點的有限集合，它(（4）)根結點。可以把樹的根結點的層數定義為1，其他結點的層數等於其父結點所在層數加上1。令T是一棵二叉樹，Ki和Kj是T中子結點數小於2的結點中的任意兩個，它們所在的層數分別為λKi和λKj，當關系式│λKi-λKj│≤1一定成立時，則稱T為一棵（(5)）。供選擇的答案：CACAC
（1）(4) A. 有0個或1個 B. 有0個或多個 C. 有且只有一個 D. 有1個或1個以上
（2） A. 互不相交 B.允許相交 C.允許葉結點相交 D.允許樹枝結點相交
（3） A. 權 B.維數 C.次數 D.序
（5） A. 豐滿樹 B.查找樹 C.平衡樹 D.完全樹
8．若一棵二叉樹具有10個度為2的結點，5個度為1的結點，則度為0的結點個數是（B ）
A．9 B．11 C．15 D．不確定
9．在一棵三元樹中度為3的結點數為2個，度為2的結點數為1個，度為1的結點數為2個，則度為0的結點數為（C ）個
A．4 B．5 C．6 D．7
10．設森林F中有三棵樹，第一，第二，第三棵樹的結點個數分別為M1，M2和M3。與森林F對應的二叉樹根結點的右子樹上的結點個數是（ D ）。
A．M1 B．M1+M2 C．M3 D．M2+M3
11．具有10個葉結點的二叉樹中有（ B ）個度為2的結點，
A．8 B．9 C．10 D．ll
12．一棵完全二叉樹上有1001個結點，其中葉子結點的個數是（ E ）
A． 250 B． 500 C．254 D．505 E．以上答案都不對
13. 設給定權值總數有n 個，其哈夫曼樹的結點總數為( D )
A．不確定 B．2n C．2n+1 D．2n-1
14. 有n個葉子的哈夫曼樹的結點總數為（ D ）。
A．不確定 B．2n C．2n+1 D．2n-1
15．若度為m的哈夫曼樹中，其葉結點個數為n，則非葉結點的個數為（C ）。
A．n-1 B．ën/mû-1 C．é(n-1)/(m-1)ù D． én/(m-1)ù-1 E．é(n+1)/(m+1)ù-1
16. 有關二叉樹下列說法正確的是（B ）
A．二叉樹的度為2 B．一棵二叉樹的度可以小於2
C．二叉樹中至少有一個結點的度為2 D．二叉樹中任何一個結點的度都為2
17．二叉樹的第I層上最多含有結點數為（ C ）
A．2I B． 2I-1-1 C． 2I-1 D．2I -1
18. 一個具有1025個結點的二叉樹的高h為（ C ）
A．11 B．10 C．11至1025之間 D．10至1024之間
19．一棵二叉樹高度為h,所有結點的度或為0，或為2，則這棵二叉樹最少有( B )結點
A．2h B．2h-1 C．2h+1 D．h+1
20．對於有n 個結點的二叉樹, 其高度為（ D ）
A．nlog2n B．log2n C．ëlog2nû|+1 D．不確定
21. 一棵具有 n個結點的完全二叉樹的樹高度（深度）是（ A ）
A．ëlognû+1 B．logn+1 C．ëlognû D．logn-1
22．深度為h的滿m叉樹的第k層有（ A ）個結點。(1=<k=<h)
A．mk-1 B．mk-1 C．mh-1 D．mh-1
23．在一棵高度為k的滿二叉樹中，結點總數為（ C ）
A．2k-1 B．2k C．2k-1 D．ëlog2kû+1
24．高度為 K的二叉樹最大的結點數為（ C ）。
A．2k B．2k-1 C．2k -1 D．2k-1-1
25. 一棵樹高為K的完全二叉樹至少有（ C ）個結點
A．2k –1 B. 2k-1 –1 C. 2k-1 D. 2k
26. 將有關二叉樹的概念推廣到三叉樹，則一棵有244個結點的完全三叉樹的高度（C）
A．4 B．5 C．6 D．7
27. 利用二叉鏈表存儲樹，則根結點的右指針是（ C ）。
A．指向最左孩子 B．指向最右孩子 C．空 D．非空
28．對二叉樹的結點從1開始進行連續編號，要求每個結點的編號大於其左、右孩子的編號，同一結點的左右孩子中，其左孩子的編號小於其右孩子的編號，可采用( C )次序的遍歷實現編號。
A．先序 B. 中序 C. 后序 B D. 從根開始按層次遍歷
29．樹的后根遍歷序列等同於該樹對應的二叉樹的( ).
A. 先序序列 B. 中序序列 C. 后序序列
30．若二叉樹采用二叉鏈表存儲結構，要交換其所有分支結點左、右子樹的位置，利用( C )遍歷方法最合適。
A．前序 B．中序 C．后序 D．按層次
31．在下列存儲形式中，哪一個不是樹的存儲形式？（ D ）】
A．雙親表示法 B．孩子鏈表表示法 C．孩子兄弟表示法 D．順序存儲表示法
32．一棵二叉樹的前序遍歷序列為ABCDEFG，它的中序遍歷序列可能是（B ）
A．CABDEFG B．ABCDEFG C．DACEFBG D．ADCFEG
33．已知一棵二叉樹的前序遍歷結果為ABCDEF,中序遍歷結果為CBAEDF,則后序遍歷的結果為（ A ）。
A．CBEFDA B． FEDCBA C． CBEDFA D．不定
34．已知某二叉樹的后序遍歷序列是dabec, 中序遍歷序列是debac , 它的前序遍歷是（ D ）。
A．acbed B．decab C．deabc D．cedba
35. 某二叉樹中序序列為A,B,C,D,E,F,G，后序序列為B,D,C,A,F,G,E 則前序序列是：B
A．E,G,F,A,C,D,B B．E,A,C,B,D,G,F C．E,A,G,C,F,B,D D．上面的都不對
36. 上題的二叉樹對應的森林包括多少棵樹（ B ）
A．l B．2 C．3 D．概念上是錯誤的
37．二叉樹的先序遍歷和中序遍歷如下： 先序遍歷：EFHIGJK；中序遍歷: HFIEJKG 。該二叉樹根的右子樹的根是： C
A、 E B、 F C、 G D、 H
38．將一棵樹t 轉換為孩子—兄弟鏈表表示的二叉樹h，則t的后根序遍歷是h 的
A．前序遍歷 B．中序遍歷 C．后序遍歷（ B ）
39. 某二叉樹T有n個結點，設按某種順序對T中的每個結點進行編號，編號為1，2，… ，n，且有如下性質：T中任一結點V，其編號等於左子樹上的最小編號減1，而V的右子樹的結點中，其最小編號等於V左子樹上結點的最大編號加1。這時是按( B )編號的。
A.中序遍歷序列 B.前序遍歷序列 C.后序遍歷序列 D.層次順序
40．下面的說法中正確的是（ B ）.
（1）任何一棵二叉樹的葉子結點在三種遍歷中的相對次序不變；
（2）按二叉樹定義，具有三個結點的二叉樹共有6種。
A．(1)(2) B．(1) C．(2) D．(1)、(2)都錯
41．對於前序遍歷與中序遍歷結果相同的二叉樹為（1）F;
對於前序遍歷和后序遍歷結果相同的二叉樹為（2）。B
A．一般二叉樹 B．只有根結點的二叉樹 C．根結點無左孩子的二叉樹
D．根結點無右孩子的二叉樹 E．所有結點只有左子數的二叉樹 F．所有結點只有右子樹的二叉樹
42．C一棵非空的二叉樹的先序遍歷序列與后序遍歷序列正好相反，則該二叉樹一定滿足（ ）
A．所有的結點均無左孩子B．所有的結點均無右孩子C．只有一個葉子結點D．是任意一棵二叉樹
43．在二叉樹結點的先序序列，中序序列和后序序列中，所有葉子結點的先后順序（ B ）
A．都不相同 B．完全相同 C．先序和中序相同，而與后序不同
D．中序和后序相同，而與先序不同
44．某二叉樹的前序序列和后序序列正好相反，則該二叉樹一定是（C）的二叉樹。
A．空或只有一個結點 B．任一結點無左子樹 C．高度等於其結點數 D．任一結點無右子樹
45．在完全二叉樹中，若一個結點是葉結點，則它沒（ C ）。
A．左子結點 B．右子結點 C．左子結點和右子結點 D．左子結點，右子結點和兄弟結點
46．在下列情況中，可稱為二叉樹的是（ B ）
A．每個結點至多有兩棵子樹的樹 B. 哈夫曼樹 C．每個結點至多有兩棵子樹的有序樹
D. 每個結點只有一棵右子樹 E．以上答案都不對
47. 一棵左子樹為空的二叉樹在先序線索化后，其中空的鏈域的個數是：( D )
A．不確定 B. 0 C.1 D. 2
48. 一棵左右子樹均不空的二叉樹在先序線索化后，其中空的鏈域的個數是：(B )。
A. 0 B. 1 C. 2 D. 不確定
49. 若X是二叉中序線索樹中一個有左孩子的結點，且X不為根，則x的前驅為( C)
A.X的雙親 B.X的右子樹中最左的結點 C.X的左子樹中最右結點 D.X的左子樹中最右葉結點
50. 引入二叉線索樹的目的是（ A ）
A．加快查找結點的前驅或后繼的速度 B．為了能在二叉樹中方便的進行插入與刪除
C．為了能方便的找到雙親 D．使二叉樹的遍歷結果唯一
二、判斷題
×1. 二叉樹是度為2的有序樹。
×2.完全二叉樹一定存在度為1的結點。
×3. 對於有N個結點的二叉樹，其高度為log2n。
√4．深度為K的二叉樹中結點總數≤2k-1。
√5. 二叉樹以后序遍歷序列與前序遍歷序列反映的同樣的信息(他們反映的信息不獨立）。
√6. 二叉樹的遍歷結果不是唯一的.
√7. 二叉樹的遍歷只是為了在應用中找到一種線性次序。
√9. 一個樹的葉結點，在前序遍歷和后序遍歷下，皆以相同的相對位置出現。
×10. 二叉樹的前序遍歷並不能唯一確定這棵樹，但是，如果我們還知道該樹的根結點是那一個，則可以確定這棵二叉樹。
×11. 一棵一般樹的結點的前序遍歷和后序遍歷分別與它相應二叉樹的結點前序遍歷和后序遍歷是一致的。
×13．用樹的前序遍歷和中序遍歷可以導出樹的后序遍歷。
√14．采用二叉鏈表作存儲結構，樹的前序遍歷和其相應的二叉樹的前序遍歷的結果是一樣的。
×15. 用一維數組存儲二叉樹時，總是以前序遍歷順序存儲結點。
√22．完全二叉樹中，若一個結點沒有左孩子，則它必是樹葉。
×23. 二叉樹只能用二叉鏈表表示。
×24. 一棵有n個結點的二叉樹，從上到下，從左到右用自然數依次給予編號，則編號為i的結點的左兒子的編號為2i(2i< n)，右兒子是2i+1（2i+1<n）。
25. 給定一棵樹，可以找到唯一的一棵二叉樹與之對應。
×26. 一棵樹中的葉子數一定等於與其對應的二叉樹的葉子數。
×39．度為二的樹就是二叉樹。
×40．深度為k具有n個結點的完全二叉樹，其編號最小的結點序號為 ë2k-2û+1。
41.下面二叉樹的定義只有一個是正確的，請在正確的地方畫“√”。
（1）它是由一個根和兩株互不相交的、稱為左子樹和右子樹的二叉樹組成。
（2）（a）在一株二叉樹的級i上，最大結點數是2i-1（i≥1）
（b）在一棵深度為k的二叉樹中，最大結點數是2k-1+1（k≥1）。
√（3）二叉樹是結點的集合，滿足如下條件：
（a）它或者是空集；
（b）或者是由一個根和兩個互不相交的、稱為左子樹和右子樹的二叉樹組成。
×46. 一棵哈夫曼樹的帶權路徑長度等於其中所有分支結點的權值之和。
×47. 哈夫曼樹無左右子樹之分。
×48．當一棵具有n個葉子結點的二叉樹的WPL值為最小時，稱其樹為Huffman樹，且其二叉樹的形狀必是唯一的。
√49．哈夫曼樹是帶權路徑長度最短的樹，路徑上權值較大的結點離根較近。
√50. 用鏈表（llink-rlink）存儲包含n個結點的二叉樹時，結點的2n個指針區域中有n+1個空指針。( )
三、填空題
1．二叉樹由_(1)根節點__，__(2)左子樹_，_(3)右子樹__三個基本單元組成。
4．中綴式a+b*3+4*（c-d）對應的前綴式為__(1)++a*b3*4-cd_，若a=1，b=2，c=3，d=4，則后綴式db/cc*a-b*+的運算結果為_(218)__。
5．二叉樹中某一結點左子樹的深度減去右子樹的深度稱為該結點的__平衡因子__。
6．具有256個結點的完全二叉樹的深度為_9_____。
7．已知一棵度為3的樹有2個度為1的結點，3個度為2的結點，4個度為3的結點，則該樹有__12____個葉子結點。
8．深度為k的完全二叉樹至少有___(1)2k-1____個結點，至多有___(2) 2k-1____個結點。
9．深度為H 的完全二叉樹至少有_(1) 2？H-1____個結點；至多有_(2) 2H-1____個結點；H和結點總數N之間的關系是(3)_H=[log2N] +1_向下取整。
10．在順序存儲的二叉樹中，編號為i和j的兩個結點處在同一層的條件是______。
11．在完全二叉樹中，編號為i和j的兩個結點處於同一層的條件是_[log2i]= [log2j]_____。
12．一棵有n個結點的滿二叉樹有_0_(1)_個度為1的結點、有__(2)（n-1）/2_個分支（非 終端）結點和__(3)（n+1）、2_個葉子，該滿二叉樹的深度為_(4) [log2n]+1 向下取整__。
13．假設根結點的層數為１，具有ｎ個結點的二叉樹的最大高度是__n____。
14．在一棵二叉樹中，度為零的結點的個數為N0,度為2的結點的個數為N2,則有N0 =__N2+1____
15．設只含根結點的二叉樹的高度為0，則高度為k的二叉樹的最大結點數為_2k+1-1______,最小結點數為____k+1__。
16．設有N個結點的完全二叉樹順序存放在向量A[1:N]中，其下標值最大的分支結點為___[N/2]向下取整___。
17．高度為K的完全二叉樹至少有__2k-2____個葉子結點。
18．高度為8的完全二叉樹至少有___64___個葉子結點。
19．已知二叉樹有50個葉子結點，則該二叉樹的總結點數至少是___99___。
30．8層完全二叉樹至少有__128____個結點，擁有100個結點的完全二叉樹的最大層數為___7___。
31．含4個度為2的結點和5個葉子結點的二叉樹，可有___0至多個___個度為1的結點。
四、應用題
1．從概念上講，樹，森林和二叉樹是三種不同的數據結構，將樹，森林轉化為二叉樹的基本目的是什么，並指出樹和二叉樹的主要區別。
樹的孩子兄弟鏈表表示法和二叉樹二叉鏈表表示法，本質是一樣的，只是解釋不同，也就是說樹（樹是森林的特例，即森林中只有一棵樹的特殊情況）可用二叉樹唯一表示，並可使用二叉樹的一些算法去解決樹和森林中的問題。
樹和二叉樹的區別有三：一是二叉樹的度至多為2，樹無此限制；二是二叉樹有左右子樹之分，即使在只有一個分枝的情況下， 也必須指出是左子樹還是右子樹，樹無此限制；三是二叉樹允許為空，樹一般不允許為空（個別書上允許為空）。
2．樹和二叉樹之間有什么樣的區別與聯系？
3．已知一棵二叉樹的對稱序和后序序列如下：
對稱序：GLDHBEIACJFK 后序： LGHDIEBJKFCA
(1) 出這棵二叉樹：
(2) 轉換為對應的森林：
4．設某二叉樹的前序遍歷序列為:ABCDEFGGI，中序遍歷序列為:BCAEDGHFI：
（1）試畫出該二叉樹；
（2）寫出由給定的二叉樹的前序遍歷序列和中序遍歷序列構造出該二叉樹的算法。
（1）已知二叉樹的先序序列: CBHEGAF, 中序序列: HBGEACF, 試構造該二叉樹
（2）已知二叉樹按中序排列為BFDAEGC，按前序排列為ABDFCEG，要求畫出該二叉樹。
（3）已知一棵二叉樹的前序序列A,B,D,C,E,F，中序序列B,D,A,E,F,C. 畫出這棵二叉樹。
（4）已知一棵二叉樹的前序遍歷結果是：ABCDEFGHIJ,中序遍歷的結果是：BCEDAGHJIF,試畫出這棵二叉樹。
（5）已知二叉樹BT各結點的先序、中序遍歷序列分別為ABCDEGF和CBAEDF，試畫出該二叉樹。