王道數據結構復習（一）

  本次數據結構復習重點復習了第一章緒論中關於時間復雜度的計算。一下簡要介紹一下復習結果：

  　　一個語句的頻度是指該語句在算法中被重復執行的次數。算法中所有語句的頻度之和記為T(n)，它是該算法問題規模n的函數，時間復雜度主要分析T(n)的數量級。算法中的基本運算（最深層循環內的語句）的頻度與T(n)同數量級，因此通常采用算法中基本運算的頻度ƒ(n)來分析算法的時間復雜度。因此，算法的時間復雜度記為：

　　　　　　　　　　　　　　　　T(n)=Ο(ƒ(n))

　　式中，Ο的含義時T(n)的數量級，其嚴格的數學定義是：若T(n)和ƒ(n)是定義在正整數集合上的兩個函數，則存在正常數C和n₀ 使得當n≥n₀時，都滿足0≤T(n)≤Cƒ(n)。

　　在分析一個程序的時間復雜性時，有一下兩條規則：

　　a)加法規則： T(n)=T₁(n)+T₂(n)=Ο(ƒ(n))+O(g(n)) = O(max(ƒ(n),g(n))

　　b)乘法規則：T(n)=T₁(n)*T₂(n)=O(ƒ(n))+O(g(n))=O(ƒ(n)*g(n))

　　常見的漸進時間復雜度為：

　　O(1)<O(log₂n)<O(n)<O(nlog₂n)<P(n²)<O(n³)<O(2ⁿ)<O(n!)<O(nⁿ)

　　以下是一些題目回顧：

　　1.求下述代碼的時間復雜度

void fun (int n) {
    int i = 1;
    while (i <= n)
        i = i * 2;
}

　　基本運算是

i = i * 2

　　設其執行次數為t，則2^t≤n，即t≤log₂n,因此復雜度T(n)=O(log₂n)。

　　2.下列函數的時間復雜度為：

int func (int n) {
    int i = 0, sum = 0;
    while (sum < n) sum += ++i;
    return i;
}

　　

sum += ++i;

　　相當於

++i;
sum = sum + i;

　　進行到k次循環時，sum = (1+k)*k/2。需要O(n^1/2)復雜度。

　　3.一個算法所需時間由下述遞歸方程表示，試求出該算法時間復雜度級別：

　　T(n)=1 當n=1;

　　T(n)=2T(n/2)+n 當n>1;

　　式中，n是問題規模，為簡單起見，設n是2的整數次冪。

　　此題目可以使用主定理解決。當T(n)=aT(n/b)+ƒ(n)時：1）ƒ(n)=O(n^log_ab-ε)  ε>0  T(n)=θ(n^log_ba)    2) ƒ(n)=θ(n^log_ba) 那么 T(n)=θ(n^log_balog₂n)     3)ƒ(n)=Ω(n^log_ba+ε)且對C≤1有充分大的n有aƒ(n/b)≤Cƒ(n)  T(n)=θ(ƒ(n))。

　　滿足主定理2)，因此復雜度O(nlog₂n).