算法設計關於遞歸方程T(n)=aT(n/b)+f(n)之通用解法
在算法設計中經常需要通過遞歸方程估計算法的時間復雜度T(n)，本文針對形如T(n)=aT(n/b)+f(n)的遞歸方程進行討論，以期望找出通用的遞歸方程的求解方式。
算法設計教材中給出的Master定理可以解決該類方程的絕大多數情況，根據Master定理：o-漸進上界、w-漸進下界、O-漸進確界。
設a≥1，b＞1為常數，f(n)為函數，T(n)=aT(n/b)+f(n)為非負數,令x=logba：
1. f(n)=o(nx-e)，e＞0，那么T(n)=O(nx)。
2. f(n)=O(nx)，那么T(n)=O(nx logn)。
3. f(n)=w(nx+e)，e＞0且對於某個常數c＜1和所有充分大的n有af(n/b)≤cf(n)，那么T(n)=O(f(n))。
然而，Master定理並沒有完全包括所有的f(n)的情況。注意到條件1和3中的e總是大於0的，所以在條件1和2、條件2和3之間存在所謂的“間隙”，使得某些f(n)在該情況下不能使用該定理。因此，我們需要找到在Master定理不能使用的情況下如何解遞歸方程的比較通用的辦法——遞歸樹。
經過分析，遞歸樹解法包含了Master定理，但是Master定理可以方便的判斷出遞歸方程的解。產生這種結果的原因關鍵在於f(n)的形式，顯然，當f(n)是n的多項式p(n)形式的話必然滿足Master定理的要求，但是f(n)不是多項式就需要另當別論了。
下面就題目所列出的遞歸方程形式進行分析。
一、f(n)是n的多項式p(n)=f(n)
因為f(n)是多項式，設p(n)=O(nk)，k≥0。根據遞歸樹計算方式，有：
T(n)= aT(n/b)+nk 。
T(n/b)= aT(n/b2)+(n/b)k 。
T((n/b2)= aT(n/b3)+( n/b2)k 。
……
於是得到：T(n)= nk (1+ a/ bk + (a/ bk)2 + (a/ bk)3 +···+ (a/ bk)h)，h=logbn。
1：logba=k
這種情況下a/ bk= 1，顯然T(n)= O(nk logbn)。
2：logba≠k
此時等比數列公比不是1，根據等比數列求和公式化簡得到：
T(n)=( nk –nx)/(1-a/bk)，x=logba。
如果logba<k，則T(n)= O(nk)。
如果logba>k，則T(n)= O(nx)。x=logba。
通過以上的計算表明，在Master定理的條件中，針對f(n)為多項式的情況可以使用遞歸樹的方法進行證明和計算。同樣，在f(n)不是多項式的時候也可以通過的這種方式得到方程的解。
二、f(n)是一般函數
當f(n)不是n的多項式的時候，計算就會變得比較復雜，有時可能會也找不到最終的解。但是遞歸樹的方法給我們一種更好使用的解決辦法。下面根據一個簡單的例子說明這一點：
當a=b=2、f(n)=nlgn時候（lgn:log2n的簡記），計算遞歸方程的解。
T(n)= 2T(n/2)+nlgn 。
T(n/b)= 2T(n/22)+(n/2)lg(n/2)。
T((n/b2)= 2T(n/23)+ (n/22)lg(n/22)。
……
於是得到：T(n)= nlgn+(nlgn-lg2)+ (nlgn-2lg2)+ (nlgn-22lg2)+···+(nlgn-2hlg2)，h=lgn。
根據等差、等比數列求和公式化簡有：
T(n)=n(lgn)2 –(n-1)lg2，所以T(n)= O( n(lgn)2)，而不是O( nlgn)。
通過這個例子可以看出，當f(n)不是多項式的時候計算就有可能變得比較復雜，甚至無法計算。但是通過Master定理以及具體的數學變換技巧在某些情況下還是可行的。
綜上所述，可以得出以下結論：在針對形如T(n)=aT(n/b)+f(n)的遞歸方程求解方法里，使用遞歸樹是一種比較可行的通用辦法。