用MATLAB優化工具箱解線性規划

命令：x=linprog（c，A，b）

2、模型：

命令：x=linprog（c，A，b，Aeq,beq）

注意：若沒有不等式：存在，則令A=[ ]，b=[ ]. 若沒有等式約束, 則令Aeq=[ ], beq=[ ].

3、模型：

命令：[1] x=linprog（c，A，b，Aeq,beq, VLB，VUB）

[2] x=linprog（c，A，b，Aeq,beq, VLB，VUB, X0）

注意：[1] 若沒有等式約束, 則令Aeq=[ ], beq=[ ]. [2]其中X0表示初始點

4、命令：[x,fval]=linprog(…)

返回最優解ｘ及ｘ處的目標函數值fval.

例1 max

解 編寫M文件小xxgh1.m如下：

c=[-0.4 -0.28 -0.32 -0.72 -0.64 -0.6];

A=[0.01 0.01 0.01 0.03 0.03 0.03;0.02 0 0 0.05 0 0;0 0.02 0 0 0.05 0;0 0 0.03 0 0 0.08];

b=[850;700;100;900];

Aeq=[]; beq=[];

vlb=[0;0;0;0;0;0]; vub=[];

[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)

 

 

 

 

 

 

 

 

例2

 

解: 編寫M文件xxgh2.m如下：

c=[6 3 4];

A=[0 1 0];

b=[50];

Aeq=[1 1 1];

beq=[120];

vlb=[30,0,20];

vub=[];

[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub

例3 （任務分配問題）某車間有甲、乙兩台機床，可用於加工三種工件。

假定這兩台車床的可用台時數分別為800和900，三種工件的數量分別為400、

600和500，且已知用三種不同車床加工單位數量不同工件所需的台時數和加工

費用如下表。問怎樣分配車床的加工任務，才能既滿足加工工件的要求，又使

加工費用最低？

 

 

 

 

 

 

解 設在甲車床上加工工件1、2、3的數量分別為x1、x2、x3，在乙車床上

加工工件1、2、3的數量分別為x4、x5、x6。可建立以下線性規划模型：

編寫M文件xxgh3.m如下:

f = [13 9 10 11 12 8];

A = [0.4 1.1 1 0 0 0

0 0 0 0.5 1.2 1.3];

b = [800; 900];

Aeq=[1 0 0 1 0 0

0 1 0 0 1 0

0 0 1 0 0 1];

beq=[400 600 500];

vlb = zeros(6,1);

vub=[];

[x,fval] = linprog(f,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)

 

例4．某廠每日8小時的產量不低於1800件。為了進行質量控制，計划聘請兩種不同水平的檢驗員。一級檢驗員的標准為：速度25件/小時，正確率98%，計時工資4元/小時；二級檢驗員的標准為：速度15小時/件，正確率95%，計時工資3元/小時。檢驗員每錯檢一次，工廠要損失2元。為使總檢驗費用最省，該工廠應聘一級、二級檢驗員各幾名？

解 設需要一級和二級檢驗員的人數分別為x1、x2人,

則應付檢驗員的工資為：

因檢驗員錯檢而造成的損失為：

 

故目標函數為：

 

約束條件為：

 

 

 

 

線性規划模型：

 

 

 

 

 

 

編寫M文件xxgh4.m如下：

 

c = [40;36];

A=[-5 -3];

b=[-45];

Aeq=[];

beq=[];

vlb = zeros(2,1);

vub=[9;15];

%調用linprog函數：

[x,fval] = linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)

 

結果為：

x =

9.0000

0.0000

fval =360

 

即只需聘用9個一級檢驗員。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Matlab優化工具箱簡介

1.MATLAB求解優化問題的主要函數

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.優化函數的輸入變量

使用優化函數或優化工具箱中其它優化函數時, 輸入變量見下表:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. 優化函數的輸出變量下表:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4．控制參數options的設置

 

Options中常用的幾個參數的名稱、含義、取值如下:

(1)    Display: 顯示水平.取值為'off'時,不顯示輸出; 取值為'iter'時,顯示每次迭代的信息;取值為'final'時,顯示最終結果.默認值為'final'.

(2)    MaxFunEvals: 允許進行函數評價的最大次數,取值為正整數.

(3) MaxIter: 允許進行迭代的最大次數,取值為正整數

控制參數options可以通過函數optimset創建或修改。命令的格式如下：

(1) options=optimset('optimfun')

創建一個含有所有參數名,並與優化函數optimfun相關的默認值的選項結構options.

（2）options=optimset('param1',value1,'param2',value2,...)

創建一個名稱為options的優化選項參數,其中指定的參數具有指定值,所有未指定的參數取默認值.

(3)options=optimset(oldops,'param1',value1,'param2',

value2,...)

創建名稱為oldops的參數的拷貝,用指定的參數值修改oldops中相應的參數.

例：opts=optimset('Display','iter','TolFun',1e-8)

該語句創建一個稱為opts的優化選項結構,其中顯示參數設為'iter', TolFun參數設為1e-8.

用Matlab解無約束優化問題

一元函數無約束優化問題

常用格式如下：

（1）x= fminbnd (fun,x1,x2)

（2）x= fminbnd (fun,x1,x2 ，options)

（3）[x，fval]= fminbnd（...）

（4）[x，fval，exitflag]= fminbnd（...）

（5）[x，fval，exitflag，output]= fminbnd（...）

其中（3）、（4）、（5）的等式右邊可選用（1）或（2）的等式右邊。

函數fminbnd的算法基於黃金分割法和二次插值法，它要求目標函數必須是連續函數，並可能只給出局部最優解。

例1 求在0<x<8中的最小值與最大值

主程序為wliti1.m:

f='2*exp(-x).*sin(x)';

fplot(f,[0,8]); %作圖語句

[xmin,ymin]=fminbnd (f, 0,8)

f1='-2*exp(-x).*sin(x)';

[xmax,ymax]=fminbnd (f1, 0,8)

運行結果：

xmin = 3.9270 ymin = -0.0279

xmax = 0.7854 ymax = 0.6448

 

例2 對邊長為3米的正方形鐵板，在四個角剪去相等的正方形以制成方形無蓋水槽，問如何剪法使水槽的容積最大？

先編寫M文件fun0.m如下:

function f=fun0(x)

f=-(3-2*x).^2*x;

主程序為wliti2.m:

[x,fval]=fminbnd('fun0',0,1.5);

xmax=x

fmax=-fval

運算結果為: xmax = 0.5000,fmax =2.0000.即剪掉的正方形的邊長為0.5米時水槽的容積最大,最大容積為2立方米.

2、多元函數無約束優化問題

標准型為：min F(X)

命令格式為:

（1）x= fminunc（fun,X0 ）；或x=fminsearch（fun,X0 ）

（2）x= fminunc（fun,X0 ，options）；

或x=fminsearch（fun,X0 ，options）

（3）[x，fval]= fminunc（...）；

或[x，fval]= fminsearch（...）

（4）[x，fval，exitflag]= fminunc（...）；

或[x，fval，exitflag]= fminsearch

（5）[x，fval，exitflag，output]= fminunc（...）；

或[x，fval，exitflag，output]= fminsearch（...）

說明:

• fminsearch是用單純形法尋優. fminunc的算法見以下幾點說明：

[1] fminunc為無約束優化提供了大型優化和中型優化算法。由options中的參數LargeScale控制：

LargeScale='on'(默認值),使用大型算法

LargeScale='off'(默認值),使用中型算法

[2] fminunc為中型優化算法的搜索方向提供了4種算法，由

options中的參數HessUpdate控制：

HessUpdate='bfgs'（默認值），擬牛頓法的BFGS公式；

HessUpdate='dfp'，擬牛頓法的DFP公式；

HessUpdate='steepdesc'，最速下降法

[3] fminunc為中型優化算法的步長一維搜索提供了兩種算法，

由options中參數LineSearchType控制：

LineSearchType='quadcubic'(缺省值)，混合的二次和三

次多項式插值；

LineSearchType='cubicpoly'，三次多項式插

• 使用fminunc和 fminsearch可能會得到局部最優解.

例3 min f(x)=(4x12+2x22+4x1x2+2x2+1)*exp(x1)

1、編寫M-文件 fun1.m:

function f = fun1 (x)

f = exp(x(1))*(4*x(1)^2+2*x(2)^2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1);

 

2、輸入M文件wliti3.m如下:

x0 = [-1, 1];

x=fminunc('fun1',x0);

y=fun1(x)

3、運行結果:

x= 0.5000 -1.0000

y = 1.3029e-10

 

1. Rosenbrock 函數 f（x1，x2）=100（x₂-x₁²）²+(1-x₁)²

的最優解（極小）為x*=（1，1），極小值為f*=0.試用

不同算法（搜索方向和步長搜索）求數值最優解.

初值選為x0=（-1.2 , 2）.

 

1. 為獲得直觀認識，先畫出Rosenbrock 函數的三維圖形,

輸入以下命令：

[x,y]=meshgrid(-2:0.1:2,-1:0.1:3);

z=100*(y-x.^2).^2+(1-x).^2;

mesh(x,y,z)

2. 畫出Rosenbrock 函數的等高線圖,輸入命令：

contour(x,y,z,20)

hold on

plot(-1.2,2,' o ');

text(-1.2,2,'start point')

plot(1,1,'o')

text(1,1,'solution')

3.用fminsearch函數求解

輸入命令:

f='100*(x(2)-x(1)^2)^2+(1-x(1))^2';

[x,fval,exitflag,output]=fminsearch(f, [-1.2 2])

運行結果:

x =1.0000 1.0000

fval =1.9151e-010

exitflag = 1

output =

iterations: 108

funcCount: 202

algorithm: 'Nelder-Mead simplex direct search'

 

4. 用fminunc 函數

(1)建立M-文件fun2.m

function f=fun2(x)

f=100*(x(2)-x(1)^2)^2+(1-x(1))^2

(2)主程序wliti44.m

Rosenbrock函數不同算法的計算結果

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

可以看出，最速下降法的結果最差.因為最速下降法特別不適合於從一狹長通道到達最優解的情況.

例5 產銷量的最佳安排

某廠生產一種產品有甲、乙兩個牌號，討論在產銷平衡的情況下如何確定各自的產量，使總利潤最大. 所謂產銷平衡指工廠的產量等於市場上的銷量.

符號說明

z(x₁,x₂)表示總利潤；

p₁，q₁，x₁分別表示甲的價格、成本、銷量；

p₂，q₂，x₂分別表示乙的價格、成本、銷量；

a_ij，b_i，λ_i,c_i（i，j =1，2）是待定系數.

基本假設

1．價格與銷量成線性關系

利潤既取決於銷量和價格，也依賴於產量和成本。按照市場規律，

甲的價格p₁會隨其銷量x₁的增長而降低，同時乙的銷量x₂的增長也

會使甲的價格有稍微的下降，可以簡單地假設價格與銷量成線性關系，

即： p₁ = b₁ - a₁₁ x₁ - a₁₂ x₂ ，b₁，a₁₁，a₁₂ > 0，且a₁₁ > a₁₂；

同理， p₂ = b₂ - a₂₁ x₁- a₂₂ x₂ ，b₂，a₂₁，a₂₂ > 0

2．成本與產量成負指數關系

甲的成本隨其產量的增長而降低,且有一個漸進值,可以假設為

負指數關系,即:

同理，

模型建立

總利潤為： z(x1,x2)=(p1-q1)x1+(p2-q2)x2

若根據大量的統計數據,求出系數b1=100,a11=1,a12=0.1,b2=280,

a21=0.2,a22=2,r1=30,λ1=0.015,c1=20, r2=100,λ2=0.02,c2=30,則

問題轉化為無約束優化問題：求甲,乙兩個牌號的產量x1，x2，使

總利潤z最大.

為簡化模型,先忽略成本,並令a12=0,a21=0,問題轉化為求:

z1 = ( b1 - a11x1 ) x1 + ( b2 - a22x2 ) x2

的極值. 顯然其解為x1 = b1/2a11 = 50, x2 = b2/2a22 = 70,

我們把它作為原問題的初始值.

模型求解

1.建立M-文件fun.m:

function f = fun(x)

y1=((100-x(1)- 0.1*x(2))-(30*exp(-0.015*x(1))+20))*x(1);

y2=((280-0.2*x(1)- 2*x(2))-(100*exp(-0.02*x(2))+30))*x(2);

f=-y1-y2;

2.輸入命令:

x0=[50,70];

x=fminunc('fun',x0),

z=fun(x)

3.計算結果:

x=23.9025, 62.4977, z=6.4135e+003

即甲的產量為23.9025,乙的產量為62.4977,最大利潤為6413.5.

非線性規划

1. 二次規划

 

 

 

 

 

 

用MATLAB軟件求解,其輸入格式如下:

1.    x=quadprog(H,C,A,b);

2.    x=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq);

3.    x=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB);

4.    x=quadprog(H,C,A,b, Aeq,beq ,VLB,VUB,X0);

5.    x=quadprog(H,C,A,b, Aeq,beq ,VLB,VUB,X0,options);

6.    [x,fval]=quaprog(...);

7.    [x,fval,exitflag]=quaprog(...);

8.    [x,fval,exitflag,output]=quaprog(...);

例1 min f(x1,x2)=-2x1-6x2+x12-2x1x2+2x22

s.t. x1+x2≤2

-x1+2x2≤2

x1≥0, x2≥0

1、寫成標准形式：

 

2、 輸入命令：

H=[1 -1; -1 2];

c=[-2 ;-6];A=[1 1; -1 2];b=[2;2];

Aeq=[];beq=[]; VLB=[0;0];VUB=[];

[x,z]=quadprog(H,c,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB)

3、運算結果為：

x =0.6667 1.3333 z = -8.2222

 

一般非線性規划

標准型為：

　　　min F(X)

s.t AX<=b G(X)

Ceq(X)=0 VLBXVUB

其中X為n維變元向量，G(X)與Ceq(X)均為非線性函數組成的向量，其它變量的含義與線性規划、二次規划中相同.用Matlab求解上述問題，基本步驟分三步：

1. 首先建立M文件fun.m,定義目標函數F（X）:

function f=fun(X);

f=F(X);

1. 若約束條件中有非線性約束:G(X)或Ceq(X)=0,則建立M文件nonlcon.m定義函數G(X)與Ceq(X):

   function [G,Ceq]=nonlcon(X)

   G=...

Ceq=...

3. 建立主程序.非線性規划求解的函數是fmincon,命令的基本格式如下：

(1) x=fmincon('fun',X0,A,b)

(2) x=fmincon('fun',X0,A,b,Aeq,beq)

(3) x=fmincon('fun',X0,A,b, Aeq,beq,VLB,VUB)

(4) x=fmincon('fun',X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,'nonlcon')

(5)x=fmincon('fun',X0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB,'nonlcon',options)

(6) [x,fval]= fmincon(...)

(7) [x,fval,exitflag]= fmincon(...)

(8)[x,fval,exitflag,output]= fmincon(...)

注意：

 

[1] fmincon函數提供了大型優化算法和中型優化算法。默認時，若在fun函數中提供了梯度（options參數的GradObj設置為'on'），並且只有上下界存在或只有等式約束，fmincon函數將選擇大型算法。當既有等式約束又有梯度約束時，使用中型算法。

[2] fmincon函數的中型算法使用的是序列二次規划法。在每一步迭代中求解二次規划子問題，並用BFGS法更新拉格朗日Hessian矩陣。

[3] fmincon函數可能會給出局部最優解，這與初值X0的選取有關。

例2

s.t.

2、先建立M-文件 fun3.m:

function f=fun3(x);

f=-x(1)-2*x(2)+(1/2)*x(1)^2+(1/2)*x(2)^2

3、再建立主程序youh2.m：

x0=[1;1];

A=[2 3 ;1 4]; b=[6;5];

Aeq=[];beq=[];

VLB=[0;0]; VUB=[];

[x,fval]=fmincon('fun3',x0,A,b,Aeq,beq,VLB,VUB)

4、運算結果為：

x = 0.7647 1.0588

fval = -2.0294

 

 

例3

1．先建立M文件 fun4.m,定義目標函數:

function f=fun4(x);

f=exp(x(1))

*(4*x(1)^2+2*x(2)^2+4*x(1)*x(2)+2*x(2)+1);

2．再建立M文件mycon.m定義非線性約束：

function [g,ceq]=mycon(x)

g=[x(1)+x(2);1.5+x(1)*x(2)-x(1)-x(2);-x(1)*x(2)-10];

3．主程序youh3.m為:

x0=[-1;1];

A=[];b=[];

Aeq=[1 1];beq=[0];

vlb=[];vub=[];

[x,fval]=fmincon('fun4',x0,A,b,Aeq,beq,vlb,vub,'mycon')

3. 運算結果為：

x = -1.2250 1.2250

fval = 1.8951

例4．資金使用問題

設有400萬元資金, 要求4年內使用完, 若在一年內使用資金x萬元, 則可得效益萬元(效益不能再使用),當年不用的資金可存入銀行, 年利率為10%. 試制定出資金的使用計划, 以使4年效益之和為最大.

設變量表示第i年所使用的資金數,則有

1．先建立M文件 fun44.m,定義目標函數:

function f=fun44(x)

f=-(sqrt(x(1))+sqrt(x(2))+sqrt(x(3))+sqrt(x(4)));

2．再建立M文件mycon1.m定義非線性約束：

function [g,ceq]=mycon1(x)

g(1)=x(1)-400;

g(2)=1.1*x(1)+x(2)-440;

g(3)=1.21*x(1)+1.1*x(2)+x(3)-484;

g(4)=1.331*x(1)+1.21*x(2)+1.1*x(3)+x(4)-532.4;

ceq=0

3．主程序youh4.m為:

x0=[1;1;1;1];vlb=[0;0;0;0];vub=[];A=[];b=[];Aeq=[];beq=[];

[x,fval]=fmincon('fun44',x0,A,b,Aeq,beq,vlb,vub,'mycon1')

得到