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什么是Closed-form solution？閉合解
最近看論文，討論微分方程解時遇到closed-form solution概念，上網檢索，找到一個較淺顯易懂的解釋如下。
與工學院所學的微分方程不同的是，工學院的學生一般都是學如何把特定的微分方程的解用基本函數（例如多項式、三角函數、對數指數函數等等）及特殊函數給表達出來（所謂的 closed form solution）。然而，在一般的情況下，要找 closed form solution 是極其困難甚至是不可能的。所以從數學的眼光來看，第一步往往是問微分方程的解是否存在（存在是表示知道有函數會滿足微分方程，但是不見得是 closed form solution 或是其它寫得出來的樣子，而只是就知道有解，玄吧？），若能證明解的存在性，那么下一個問題便是：解是否唯一（在很多情況下，解可能會是兩個以上，此時就會衍生一個問題：哪個解比較合乎自然現象的結果）。這兩個問題雖然看來非常像是哲學的問題（例如物理學家一定覺得明明自然的現象每天都在進行，而那些方程都是在描述自然的現象，解怎么可能不存在？或是哲學家問上帝存不存在、唯不唯一的問題，記得，就算證明了存在，還是看不到，這跟數學很像），但是往往研究這兩件事的過程中會讓人對所研究的微分方程有更多的了解，所以從某個角度而言數學的研究有其必要。而再往另一個更實際的方面來說，能寫出 closed form solution 的微分方程，往往不一定能馬上從解看出原方程所描述的現象。例如拋物型方程常常扮隨有擴散的效應，也就是說所關心的物理量（例如濃度、溫度）會由量高的地方往量低處流動；而雙曲型方程卻常是滿足守恆律，也就是說若某物理量在某一時間點的最大值是這么大，那么這個值永遠這么大不會「擴散」掉。這種現象上的分野是很難直接從方程的解本身看出來的，所以我想用一句很貼切的話來說明解在微分方程中的地位：叫做見樹不見林里面的「樹」（而林則是指微分方程所描寫的現象本身）。數學的研究方法，即在從方程的本身（而非從樹），去推敲林的長相。
然而，解的本身仍然是對了解微分方程所描述的自然現象，相當不可或缺的一部份。誠如前面所談到的，要求解往往是極為困難的工作，所以數值方法的發展在某種程度上彌補了這個空隙。