算法導論14-2習題解答 Josephus排列(約瑟夫環)

CLRS 14-2 Josephus問題的定義如下：假設n個人排成環形，且有以正整數m<=n。從某個制定的人開始，沿環報數，每遇到第m個人就讓其出列，且報數進行下去。這個過程一直進行到所有人都出列為止。每個人出列的次序定義了整數1，2，...，n的(n, m)-Josephus排列。例如，(7,3)-Josephus排列為<3,6,2,7,5,1,4>。
a)假設m為整數。請描述一個O(n)時間的算法，使之對給定的整數n，輸出(n, m)-Josephus排列。
b)假設m不是個常數。請描述一個O(nlgn)時間的算法，使給定的整數n和m，輸出(n, m)-Josephus排列。

解答：
a)首先，我們很容易想到用一個循環鏈表，即最后一個結點指向頭結點的單鏈表。然后，選定一個結點，走m步，輸出此結點的值，然后刪除之，然后再走m步，依次循環下去，由於建立鏈表時間為O(n)，而刪除的過程為O(m*n)，由於m為常數，故總的時間復雜度為O(n)。
(偽)偽代碼：

//i為起始點
 1 PROCESS(list, i)
{
  node = list.get(i);
  while (list != NULL)
  {
    for (i = 0; i < m-1; i++)
    {
      node = node->link;
    }
    tmp = node;//保存node的副本
    print node->key;//輸出值
    node = node->link;//在刪除之前指向下一個結點
    delete tmp;//從鏈表刪除，當然，之前還有指針之間的鏈接轉變
  }
}

b)第二問，由於在這一章，所以會采用基於紅黑樹的順序統計樹。
這里可以結合着偽代碼和下面的例子看整個流程是怎么走的。
(偽)偽代碼：

//建立順序統計樹，在題設中，原始數據是一個排好序的數組，即{1,2,3...n}
CreateTree()
{
  for (i = 1; i <= n; i++)
    insert(T, node[i]);//node存儲的是數組元素
}

//T為順序統計樹，i為選擇的起始點，這里的i表示的是位置，不是node里面的key值，可以理解為第i小的數
Process(T, i)
{
  while (T != NULL)
  {
    i = (i+m-2)%(n--) + 1;//在這里，我們不用(i+m-1)%(n--)，是因為這個表達式可能計算的結果等於0，但i != 0;
    print key[OS-SELECT(T, i)];
    OS-DELETE(T, i);
  }
}

我們來對數組{1，2，3，4，5，6，7}走一遍，我們選擇第一個數為起始點，i=1，選擇m=3，則
i = (i+m-2)%(n--) + 1 = 3，好的，輸出第3個數，即3，然后去除3，剩下{1,2,4,5,6,7}，n=6接着
i = (i+m-2)%(n--) + 1 = 5,好的，輸出第5個數（這里不是5，在樹中剩下的元素中，是第五小的數），即為6，然后刪除6，現在剩下元素為{1,2,4,5,7},n=5,接着
i = (i+m-2)%(n--) + 1 = 2，好的，輸出第2個數，即為2，然后刪除2，現在剩下元素為{1,4,5,7}，n=4，接着
i = (i+m-2)%(n--) + 1 = 4，輸出第四個數，即為7，然后刪除7，現在剩下元素為{1,4,5},n=3，接着
......
我們發現，這個算法的執行是正確的。