算法導論14.1節習題解答

算法導論習題解答系列停了一年了，現在重新拾起，好多算法已經忘了，有的記得大概，但是真正的用代碼實現卻很難下手。

CLRS 14.1-3 寫出OS-SELECT的非遞歸形式
一般遞歸形式改寫為非遞歸形式要用到while，有時還要用到棧結構。

OS-SELECT(x, i)
{
  r = size[left[x]] + 1;
  while (r != i)
  {
    if (i < r)
    {
      x = left[x];
      r = size[left[x]] + 1;
    }
    else
    {
      x = right[x];
      i = i -r;
      r = size[left[x]] + 1;
    }
  }
  return x;
}

 

CLRS 14.1-4 寫出一個遞歸過程OS-KEY-RANK(T, k)

int OS-KEY-RANK(T, k)
{
  if (k == key[root[T]])
    return size[left[root[T]]] + 1;
  else if (k < key[root[T]])
    return OS-KEY-RANK(left[root[T]], k);
  else
    return OS-KEY-RANK(right[root[T]], k) + size[left[root[T]]] + 1;
}

 

CLRS 14.1-5 確定元素x的第i個后繼，時間為lg(n)

GET-SUCCESSOR(T, x, i)
{
  r = OS-RANK(T, x);
    return OS-SELECT(root[T], r + i);
}

 

CLRS 14.1-6
在這題中，將每個結點的秩存於該結點自身之中，這個秩是相對於以該結點為根的子樹而言的。
因而在插入結點x時，對於從root到x結點的路經上的所有結點y，如果插入路經經過y的左支，則rank[y]的值加1，若經過其右支，則rank[y]的值不變。
在刪除結點x時，對於從root到x結點的路經上的所有結點y，如果刪除路經經過y的左支，則rank[y]的值減1，若經過其右支，則rank[y]的值不變。

如圖，在進行右旋轉時，x的秩是不變的，node的秩變為rank[node]減去原來的rank[x]。左旋同理。

 

CLRS 14.1-7 利用順序統計樹在O(nlgn)的時間內統計逆序對
在習題2-4中，其要求用歸並排序來計算逆序對，見算法導論2-4習題解答(合並排序算法)
在這里，我們對於數組{2，3，8，6，1}這樣分析，對於每個數，選取其前面的數與其比較，
對於6，與其對比的為2，3，8，逆序對有1對，記作inversion_count，
6在原數組的索引為3，記作j，
然后我們來分析子數組{2,3,8,6}，6在其中的排名為3，記作rank_j;
再通過分析其他數，我們歸納如下：
inversion_count = j + 1 - rank_j
當把每個結點插入順序統計樹時，我們可以知道j的值，同時調用OS-RANK來得到rank_j，從而得到inversion_count，在這里，每插入一次，就計算一次。
由於插入和OS-RANK都是lg(n)，故n個結點即為n*lg(n)。

CLRS 14.1-8 現有一個圓上的n條弦，每條弦都按其端點來定義，請給出一個能在O(n*lgn)時間內確定圓內相交弦的對數的算法，假設任意兩條弦都不會共享端點。

參考自 http://topic.csdn.net/u/20081119/17/397cc718-f4dc-4570-9991-aee57dd73416.html

如圖，對於兩條弦P1Q1和P3Q3來說，圓心與端點形成的向量有一個角度A

如果A(P1)<A(P3)<A(Q1)<A(Q3)或者A(P3)<A(P1)<A(Q3)<A(Q1)，這樣角度區間“交叉”就意味着兩條弦有交叉。

 

由於有n條弦，故有2n個端點，每個端點的取值范圍為[0, 2*π)，對這2n個端點按角度值進行從小到大排序，排序的時間復雜度為O(n*lgn)，所得數組為A[1...2n]

然后建立一個順序統計樹，起先為空，先插入A[1]，它為一條弦的起始端點，然后遇到其他弦的起始端點就插入，當遇到一條弦的終端點時，就統計在該樹中大於該弦的起始端點角度值的端點個數，之后就從樹中刪除該弦的兩個端點。

如圖，先插入P1，再插入P2，再插入P3，再插入P4，再插入Q4，Q4為弦P4Q4的終端店，故停止插入，開始統計樹中大於P4角度值的端點個數，為0，然后刪除P4與Q4。

再插入Q2，為終端點，統計此時樹中大於P2端點值的個數，為1個，然后刪除P2與Q2。

再插入Q1，為終端點，統計此時樹中大於P1端點值的個數，為1個，然后刪除P1與Q1。

再插入Q3，為終端點，統計此時樹中大於P3端點值的個數，為0個，然后刪除P3與Q3。

結束，統計結果一共為2，與圖中相符。

在這里，要用到順序統計樹的插入、刪除操作，以及OS-RANK函數。每個操作都為O(lgn)的時間復雜度，有2n個結點，故時間復雜度仍是O(n*lgn)。