算法導論課后習題解析 第七章

7.1-1

藍色部分代表不大於pivot，紅色部分表示大於pivot

13 19 9 5 12 8 7 4 21 2 6 11

13 19 9 5 12 8 7 4 21 2 6 11

13 19 9 5 12 8 7 4 21 2 6 11

9 13 19 5 12 8 7 4 21 2 6 11

9 5 13 19 12 8 7 4 21 2 6 11

9 5 13 19 12 8 7 4 21 2 6 11

9 5 8 13 19 12 7 4 21 2 6 11

9 5 8 7 13 19 12 4 21 2 6 11

9 5 8 7 4 13 19 12 21 2 6 11

9 5 8 7 4 13 19 12 21 2 6 11

9 5 8 7 4 2 13 19 12 21 6 11

9 5 8 7 4 2 6 13 19 12 21 11

9 5 8 7 4 2 6 11 13 19 12 21

7.1-2

當所有的元素都相同的時候q=r，這是因為該算法結束后有$a_q \lt a_i, \ (q \lt i \le r)$，所以沒有任何元素會在A[q]之后。

將算法變成交替地將等於pivot的元素放到大小兩個集合中，這樣就能使得$q=\lfloor (p+r)/2 \rfloor$。

Partition(A, p, r)
    x = A[r]
    f = 0
    i = p - 1
    for j = p to r - 1
        if x > A[i] or (f > 0 and x == A[i])
            i = i + 1
            exchange A[i] with A[j]
        f = f xor 1
    exchange A[i + 1] with A[r]
    return i + 1

7.1-3

由於j從p變為r-1，而循環內的操作運行時間都與輸入規模無關為O(1)，循環共進行r-p次，所以總的時間復雜度為O(r-p)=O(n)。

7.1-4

只要把比pivot小的元素放到后邊，把比pivot大的元素放在前邊即可。

Partition(A, p, r)
    x = A[r]
    i = p - 1
    for j = 1 to r - 1
        if A[i] > x
            i = i + 1
            exchange A[i] with A[j]
    exchange A[i + 1] with A[r]
    return i + 1

待續。。。