算法导论课后习题解析 第七章

7.1-1

蓝色部分代表不大于pivot，红色部分表示大于pivot

13 19 9 5 12 8 7 4 21 2 6 11

13 19 9 5 12 8 7 4 21 2 6 11

13 19 9 5 12 8 7 4 21 2 6 11

9 13 19 5 12 8 7 4 21 2 6 11

9 5 13 19 12 8 7 4 21 2 6 11

9 5 13 19 12 8 7 4 21 2 6 11

9 5 8 13 19 12 7 4 21 2 6 11

9 5 8 7 13 19 12 4 21 2 6 11

9 5 8 7 4 13 19 12 21 2 6 11

9 5 8 7 4 13 19 12 21 2 6 11

9 5 8 7 4 2 13 19 12 21 6 11

9 5 8 7 4 2 6 13 19 12 21 11

9 5 8 7 4 2 6 11 13 19 12 21

7.1-2

当所有的元素都相同的时候q=r，这是因为该算法结束后有$a_q \lt a_i, \ (q \lt i \le r)$，所以没有任何元素会在A[q]之后。

将算法变成交替地将等于pivot的元素放到大小两个集合中，这样就能使得$q=\lfloor (p+r)/2 \rfloor$。

Partition(A, p, r)
    x = A[r]
    f = 0
    i = p - 1
    for j = p to r - 1
        if x > A[i] or (f > 0 and x == A[i])
            i = i + 1
            exchange A[i] with A[j]
        f = f xor 1
    exchange A[i + 1] with A[r]
    return i + 1

7.1-3

由于j从p变为r-1，而循环内的操作运行时间都与输入规模无关为O(1)，循环共进行r-p次，所以总的时间复杂度为O(r-p)=O(n)。

7.1-4

只要把比pivot小的元素放到后边，把比pivot大的元素放在前边即可。

Partition(A, p, r)
    x = A[r]
    i = p - 1
    for j = 1 to r - 1
        if A[i] > x
            i = i + 1
            exchange A[i] with A[j]
    exchange A[i + 1] with A[r]
    return i + 1

待续。。。