Warshall傳遞閉包算法的學習與實現

1、問題引入

　　一個有n個頂點的有向圖的傳遞閉包為：有向圖中的初始路徑可達情況可以參見其鄰接矩陣A，鄰接矩陣中A[i,j]表示i到j是否直接可達，若直接可達，則A[i,j]記為1，否則記為0；兩個有向圖中i到j有路徑表示從i點開始經過其他點（或者不經過其他點）能夠到達j點，如果i到j有路徑，則將T[i,j]設置為1，否則設置為0；有向圖的傳遞閉包表示從鄰接矩陣A出發，求的所有節點間的路徑可達情況，該矩陣就為所要求的傳遞閉包矩陣。。。

例如：

有向圖為：

由該有向圖可以得到初始的鄰接矩陣為：

那么warshall傳遞閉包算法的目的就是由鄰接矩陣出發，進行探索求出最終的傳遞閉包：

2、動態規划求解思路

　　動態規划將問題分段，本例warshall算法是通過一系列n階矩陣r^（k）來構造最終階段n階傳遞閉包矩陣r^（n）

    　　 R(k) 由它的前趨 R(k-1) 計算得到（分級推進計算）。

    　　R(0) ——該矩陣不允許它的路徑中包含任何中間頂點，即從該矩陣的任意頂點出發的路徑不含有中間頂點，此即鄰接矩陣。

    　　R(1) ——允許路徑中包含第1個頂點（本例編號 1）作為中間頂點。

   　　 R(2) ——允許路徑中包含前2個頂點（本例編號1 2）作為中間頂點。

   　　 R(k) ——允許路徑中包含前k個頂點作為中間頂點。

    　　R(n) ——允許路徑中包含全部 n 個頂點作為中間頂點。

    　　每個后繼矩陣 R(k) 對其前趨 R(k-1) 來說，在路徑上允許增加一個頂點， 因此有可能包含更多的1（增加前為1的在增加后依然為1）。

3、具體的算法描述

warshall（A[1...n,1...n]
r(0)<-A;
for(k=1;k<=n;k++)
    for(i=1;i<=n;i++)
        for(j=1;j<=n;j++)
            r(k)[i,j]=r(k-1)[i,j] or(r(k-1)[i,k] and r(k-1)[k,j]);
return r(n);

4、具體實現代碼如下
　　說明：（1）有向圖的頂點個數和初始鄰接矩陣存儲在2.txt中（具體如下圖），其中4表示有向圖中有4 個頂點，其他表示初始鄰接矩陣。

　　　　　（2）有向圖的頂點個數和初始鄰接矩陣個數可以隨意更改，，，，

     具體代碼：

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
void Warshall(int,int**);
void main()
{
    int i,j,num;
    FILE*p;
    p=fopen("2.txt","r");
    if(p==NULL)
    {
        printf("cannot open 2.txt");
        exit(-1);
    }
    fscanf(p,"%d",&num);
    int **r=(int**)malloc(sizeof(int*)*(num+1));
    for(i=0;i<num+1;i++)
        r[i]=(int*)malloc(sizeof(int)*(num+1));
    for(i=1;i<num+1;i++)
        for(j=1;j<num+1;j++)
            fscanf(p,"%d",&r[i][j]);
    printf("頂點個數為：%d\n",num);
    printf("鄰接矩陣為：\n");
    for(i=1;i<num+1;i++)
    {
        for(j=1;j<num+1;j++)
            printf(" %d  ",r[i][j]);
        printf("\n");
    }
    Warshall(num,r);
    printf("最終的傳遞閉包為\n");
    for(i=1;i<num+1;i++)
    {
        for(j=1;j<num+1;j++)
            printf(" %d  ",r[i][j]);
        printf("\n");
    }

}
//三重循環實現的warshall算法
//r為鄰接矩陣，中間存儲初試的可達與非可達路徑情況，1表示可達，0表示不可達
void Warshall(int num,int**r)
{
    int i,j,k;
    int **temp=(int**)malloc(sizeof(int*)*(num+1));
    for(i=0;i<num+1;i++)
        temp[i]=(int*)malloc(sizeof(int)*(num+1));
    for(k=1;k<=num;k++)//依次取得的可以作為中間點的頂點
    {
        for(i=1;i<=num;i++)
        {
            for(j=1;j<=num;j++)
            {
                temp[i][j]=(r[i][j])||(r[i][k]&r[k][j]);
            }
        }
        for(i=1;i<=num;i++)
            for(j=1;j<=num;j++)
                r[i][j]=temp[i][j];
    }

}

5、結果如下：

 

6、參考文獻

（1）算法導論

（2）數據結構 嚴蔚敏

（3）網上下載的ppt（第8章 動態規划）