（原創）有向圖的傳遞閉包問題

 

Description

KJZ的師弟師妹們最近在學習離散數學，於是他決定出一道簡單的圖論知識考考大家！ 在這里他向大家介紹了一個叫做傳遞閉包的概念。 傳遞閉包就是，在集合X上的二元關系R的傳遞閉包是包含R的X上的最小的傳遞關系。 那么什么事有向圖的傳遞閉包呢？ 對於有向圖G(V,E)的傳遞閉包即是G(V,E),其中E{(i,j):圖G中包含一條由i到j的路徑}。 讀到這里的你，如果是一頭霧水的話，證明你集合論學的不是很好，一定要認真聽離散數學的課程喔！ 但是KJZ是一名盡職的師兄，他在這里通過一道題目，向你通俗易懂的介紹什么是有向圖的傳遞閉包。

Input

每個輸入只有一組 每組輸入第一行包括一個整數N（1<=N<=300） 接下來N行N列，代表一個矩陣G 如果G[i][j] = 1，代表i有一條邊連向j 如果G[i][j] = 0，代表i沒有邊連向j 且對於1~N，G[i][i]必定等於1 接下來一個數字Q，代表有Q次查詢 (1<=Q<=100000) 接下來有Q行，每行兩個數字u,v

Output

對於每個查詢u,v，輸出一行,如果u能走到v，輸出1，否則輸出0

Sample Input 1

3
1 1 0
0 1 1
0 0 1
5
1 1
1 3
2 3
3 2
3 1

Sample Output 1

1
1
1
0
0

解題思路：這道題的思路非常巧妙，就是利用Floyd的最短路徑，假設能找到“最短路徑”則證明是連通的，不能則證明不聯通；

Floyd算法大概思想：依次掃描每一點(k)，並以該點作為中介點，計算出通過k點的其他任意兩點(i,j)的最短距離，這就是floyd算法的精髓

也就是說起點i 直接到達終點 j 最短 還是從i 出發 經過中間 若干點 k  到達 j 最短；

實現只需要三個循環：

  

for(int k = 1 ; k  <= N ;k++)      //k表示的是中間經過的點，這個循環一定要放在最外面
   for(int i  = 1 ; i <= N; i++)
       for(int j = 1  ; j <= N ;j++)
          dp[i][j] = min(dp[i][j],d[i][k]+d[k][j]);      //不斷取“最小”；

回歸這道題，我們也可以以這種思想，從該起點 i 出發，看是否經過中間 k 點 ，能到達 j點；或者從i 直接到達 j 點；

代碼如下：

#include<iostream>
using namespace std;


int N;
int Q;
int x ,y;
int G[305][305];
int map[305][305];
int main()
{
    cin>>N;
    for(int i = 1 ;i <= N;i++)
    {
        for(int j = 1 ; j <= N;j++)
        {
            cin>>G[i][j];           //輸入這個矩陣
        }
    }
      
    for(int k = 1 ; k <= N ;k++)     //這個中間點的循環一定要放在最外面；
    {
        for(int i = 1 ;i <= N; i++)
        {
            for(int j = 1 ; j <= N;j++)
            {
                if(G[i][j]==1||G[i][k]==1&&G[k][j]==1) 
                           //直接連通或者間接經過其他點連通；
                {
                    map[i][j] = 1;  //將這兩點連通；
                 } 
            }
        }
    }
    cin>>Q;
    for(int i = 1 ; i <= Q ;i++)
    {
        cin>>x>>y;
        if(map[x][y]==1)    //判斷兩點是否連通
        cout<<1<<endl;
        else cout<<0<<endl;
    }
    return 0;
}