佛洛依德算法的學習與實現

1、問題引入

　　帶權有向圖中單源點的最短路徑問題可以用地傑斯特拉算法求解，如果要求解圖中每一對頂點之間的最短路徑，類似可以想到的方法為：每次以一個頂點為源點，重復執行地傑斯特拉算法算法n次，這樣，便可以求得每一對頂點之間的最短路徑，總的執行時間為O(n³）。

　　這里可以采用另外一種求解算法：Floyd算法。

2、Floyd的基本思想為：

　　從鄰接矩陣a開始進行n次迭代，第一次迭代后a[i,j]的值是從vi到vj且中間不經過變化大於1的頂點的最短路徑長度；第k次迭代后a[i,j]的值是從vi到vj且中間不經過變化大於k的頂點的最短路徑長度 第n次迭代后a[i,j]的值就是從vi到vj的最短路徑長度。

3、算法描述：

　　(1) 用數組d[i][j]來記錄i,j之間的最短距離。初始化d[i][j],若i=j則d[i][j]=0,
　　　　若i,j之間有邊連接則d[i][j]的值為該邊的權值，否則d[i][j]的值為max 。
　　(2) 對所有的k值從1到n，修正任意兩點之間的最短距離，計算d[i][k]+d[k][j]的值，
　　　　若小於d[i][j],則d[i][j]= d[i][k]+d[k][j]，否則d[i][j]的值不變。

4、具體實現：

　　帶權有向圖如下：

在2.txt文件中保存的帶權有向圖的數據為：

其中第一個數據4表述圖中有4個節點，其他的四行四列數據表示各個節點之間的路徑長度，9999表示兩個節點之間不可達。

具體代碼為：

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#define max 9999
void Floyd(int,int **,int**,int**);
void Searchpath(int,int,int**,int**);
void main()
{
    int i,j,num,first,last;
    FILE *p;
    p=fopen("2.txt","r");
    if(p==NULL)
    {
        printf("無法打開2.txt");
        exit(-1);
    }
    fscanf(p,"%d",&num);//獲取點的個數；
    int **a=(int**)malloc(sizeof(int*)*num);
    for(i=0;i<num;i++)
        a[i]=(int*)malloc(sizeof(int)*num);
    for(i=0;i<num;i++)//獲取圖中各個點之間的路徑長度；
        for(j=0;j<num;j++)
            fscanf(p,"%d",&a[i][j]);
    //path[i][j]用於記錄從i到j的最短路徑上j點的前一個節點
    int **path=(int**)malloc(sizeof(int*)*num);
    for(i=0;i<num;i++)
        path[i]=(int*)malloc(sizeof(int)*num);
    //d[i][j]用於記錄從i到j的最短路徑的長度
    int **d=(int**)malloc(sizeof(int*)*num);
    for(i=0;i<num;i++)
        d[i]=(int*)malloc(sizeof(int)*num);
    //佛洛依德算法程序調用
    Floyd(num,path,d,a);
    printf("最終得到的距離矩陣為：\n");
    for(i=0;i<num;i++)
    {
        for(j=0;j<num;j++)
            printf("%d  ",d[i][j]);
        printf("\n");
    }
    printf("請輸入起始點(小於%d)：",num);
    scanf("%d",&first);
    printf("\n請輸入終止點(小於%d)：",num);
    scanf("%d",&last);
    printf("起始點%d到終止點%d的最短路徑長度為：%d\n",first,last,d[first][last]);
    Searchpath(first,last,path,d);//利用path[i][j]得出從i到j的最短路徑
}
void Floyd(int num,int **path,int**d,int **a)
{
    int i,j,k;
    for(i=0;i<num;i++)
    {
        for(j=0;j<num;j++)//初始化
        {
            if(a[i][j]<max) path[i][j]=j;//從i到j有路徑
            else path[i][j]=-1;
            d[i][j]=a[i][j];
        }
    }
    for(k=0;k<num;k++)
        for(i=0;i<num;i++)
            for(j=0;j<num;j++)
                if(d[i][j]>d[i][k]+d[k][j])//從i到j的一條更短的路徑
                {
                    d[i][j]=d[i][k]+d[k][j];
                    path[i][j]=path[i][k];
                }
}
void Searchpath(int first,int last,int **path,int**d)
{
    int k;
    if(d[first][last]==max)
        printf("起始點%d到終止點%d不可達",first,last);
    else
    {
        printf("起始點到終點的路徑為：");
        k=last;
        printf("%d <--　",k);
        while((k!=first)&&(k!=path[first][k]))
        {
            k=path[first][k];
            printf("%d <-- ",k);
            if(k==path[first][k])
                k=first;
        }
        printf("%d\n",first);
    }
}

5、參考資料：

　　（1）嚴蔚敏，數據結構。

　　（2）http://blog.sina.com.cn/s/blog_3fe961ae0100nl6g.html

　　（3）http://zhidao.baidu.com/question/349458736.html