題目：(a) 求1~n內的所有素數。
(b) 找出一個無序的整數數組內的所有素數。
這兩個題目是同樣的解法，只不過形式變了一下。這里只對(a)給出解法，(b)類似。
（1）第一種解法
首先明白什么是素數，素數也叫質數，就是只能被1和它本身整除的整數。像1，2，3，5，7都是素數。
明白了素數的概念，那么程序就很容易寫出來了。要想知道一個數x是否是素數，那么只需要把1~x之間的所有整數來除x，如果存在這么一個數（1和x除外），其能夠整除x（余數為0），那么x就不是素數，否則x就是素數。這是從概論出發的解法。那么下面就要看怎么優化了。
其實我們沒有必要檢查1~x之間的所有整數。只需檢查1~[根號x]之間的數就可以了。至於為什么，可以從乘法的角度理解，我們在做除法，其實反過來也就是乘法。我們用判斷15是否是素數的情況來舉個例子。當我們除3的時候，3*5=15。所以，在判斷3的同時也判斷了另一個數5。所以我們只需要檢查到根號x就可以了，當檢查到根號x的時候，根號x之后也檢查過了。
代碼(c#)：
{
// 輸出1~n之間的所有素數，n>=3
Console.Write( " 1 2 ");
int i, j = 0;
for (i = 3; i <= n; i = i + 2)
{
int k = ( int)Math.Sqrt(i);
for (j = 2; j <= k; j++)
{
if ((i % j) == 0)
{
break;
}
}
if (j > k)
{
Console.Write(i.ToString() + " ");
}
}
}
注意for循環里遞增的間隔是2，而不是i++。因為偶數肯定不是素數，這樣也在一定程度上提高了效率。
（2）第二種解法
由於1~n是有序的且遞增的，所以可以有這么一種解法：建立一個標識數組，長度為n，下標與1~n每個數對應，在每次判斷完一個數是否是素數之后，將該數對應的標識位重置，0為素數，1為非素數，並且將這個數的所有倍數的標識位置1，這里其實就是剔除一些重復判斷。最后遍歷標識數組，輸出所有素數。但這樣做的代價是額外開辟了一段內存做為標識數組。當然，如果原數組不需要保存的話，你也可以直接在原數組上進行操作。
聽起來不錯，但其實比第一種方法快不了多少。通過用Stopwatch看運算時間，這種解法並不怎么樣，只有在數據量比較大的時候，其運行效率會比上一種方法要高那么一點點。我想是因為2的倍數太多了（方法一種循環步增是2），所以方法一已經剔除了相當一部分，再有，為每個素數計算倍數，然后再為標識數組賦值，也需要時間。
代碼(c#):
private static void PrintPrimes2(int n) { int[] flags = new int[n]; int j = 2; for (int i = 2; i <= n; i++) { if (flags[i - 1] == 0) { if (!IsPrime(i)) { flags[i - 1] = 1; } if (i <= n / 2) { j = 2; while (i * j < n) { flags[i * j - 1] = 1; j++; } } } } for (int k = 1; k < n; k++) { if (flags[k] == 0) { Console.Write((k + 1).ToString() + " "); } } } private static bool IsPrime(int x) { if (x < 1) { throw new ArgumentException("Cannot be less than 1"); } if (x < 3) { return true; } else { int k = (int)Math.Sqrt(x); int i = 2; for (; i <= k; i++) { if (x % i == 0) { break; } } if (i > k) { return true; } else { return false; } } }
（3）第三種解法
如果能事先構造好素數庫，而且很容易在構造的時候使之有序。那么判斷一個數是否是素數的話，直接二分查找就能很快的判斷。如果要查找n范圍內的素數的話，直接把庫中小於n的所有數取出來即可。所以，怎么構造一個素數庫呢？
首先，從解法一中我們知道，判斷一個數是否為素數，只需與2~Sqrt(n)之間的整數做取余操作即可。這個判斷過程的效率可以進一步的提高。試想，如果3，6，9都屬於2~Sqrt(n)之間的整數，如果我們要判斷的整數不能被3整除的話，肯定也不能被6和9整除，所以這些步驟可以省略。我們在構造的時候完全可以利用已經被構造的素數序列!
假設我們已經有素數序列: p1, p2, .. pn
現在要判斷pn+1是否是素數, 則僅需要(1, sqrt(pn+1))范圍內的所有素數序列即可，而不是其間的所有整數。
而這個素數序列顯然已經作為p1, p2, .. pn的一個子集被包含了!
構造素數庫或素數序列的代碼如下：
方法創建2~num之間的素數序列並返回。
static List<int> CreatePrimes(int num) { List<int> primes = new List<int>(); primes.Add(2); primes.Add(3); for (int i = 5; i <= num; i += 2) { bool isPrime = true; // 為什么j從1開始：因為i是一個奇數加偶數，所以只能是奇數，所以不可能被2整除，所以primes集合的第一個 // 元素2就不用計算了 for (int j = 1; primes[j] * primes[j] <= i; ++j) { if (i % primes[j] == 0) { isPrime = false; break; } } if (isPrime) { primes.Add(i); } } return primes; }
如此一來，如果求素數操作很頻繁的話，那么一開始就可以構造一個比較大的素數序列存儲起來。然后判斷素數時用二分查找法查找，取素數序列時也很方便。
有一篇博客對求素數的算法寫得也不錯，見http://www.cnblogs.com/luluping/archive/2010/03/03/1677552.html。
最后想提醒一點的是，目前我們處理的都是int，當然你也可以換作long, double。只是終究是有個范圍的。如果以字符串的形式給了一個相當大的數，遠遠超出了long的范圍，那么怎么判斷呢？
1. 自己構造一個新的數據結構來存儲，具體我不清楚。曾經有個搞芯片開發的人跟我說這不是問題。
2. 自己寫方法把求余操作實現，其實就是寫代碼實現小學的除法運算。
就寫這么多吧，希望對大家有所幫助。