| 一 ＤＳＰ定點算數運算
1 數的定標
在定點DSP芯片中,采用定點數進行數值運算,其操作數一般采用整型數來表示。一個整型數的最大表示范圍取決於DSP芯片所給定的字長,一般為16位或24位。顯然,字長越長,所能表示的數的范圍越大,精度也越高。如無特別說明,本書均以16位字長為例。
DSP芯片的數以2的補碼形式表示。每個16位數用一個符號位來表示數的正負,0表示數值為正,l則表示數值為負。其余15位表示數值的大小。因此,
二進制數0010000000000011b=8195
二進制數1111111111111100b= -4
對DSP芯片而言,參與數值運算的數就是16位的整型數。但在許多情況下,數學運算過程中的數不一定都是整數。那么,DSP芯片是如何處理小數的呢？應該說,DSP芯片本身無能為力。那么是不是說DSP芯片就不能處理各種小數呢？當然不是。這其中的關鍵就是由程序員來確定一個數的小數點處於16位中的哪一位。這就是數的定標。
通過設定小數點在16位數中的不同位置,就可以表示不同大小和不同精度的小數了。數的定標有Q表示法和S表示法兩種。表1.1列出了一個16位數的16種Q表示、S表示及它們所能表示的十進制數值范圍。
從表1.1可以看出,同樣一個16位數,若小數點設定的位置不同,它所表示的數也就不同。例如,
16進制數2000H=8192,用Q0表示
16進制數2000H=0.25,用Q15表示
但對於DSP芯片來說,處理方法是完全相同的。
從表1.1還可以看出,不同的Q所表示的數不僅范圍不同,而且精度也不相同。Q越大,數值范圍越小,但精度越高;相反,Q越小,數值范圍越大,但精度就越低。例如,Q0 的數值范圍是一32768到+32767,其精度為1,而Q15的數值范圍為-1到0.9999695,精度為1/32768=0.00003051。因此,對定點數而言,數值范圍與精度是一對矛盾,一個變量要想能夠表示比較大的數值范圍,必須以犧牲精度為代價;而想精度提高,則數的表示范圍就相應地減小。在實際的定點算法中,為了達到最佳的性能,必須充分考慮到這一點。
浮點數與定點數的轉換關系可表示為：
浮點數(x)轉換為定點數(xq)：xq=(int)x* 2Q
定點數(xq)轉換為浮點數(x)：x=(float)xq*2-Q
例如,浮點數x=0.5,定標Q=15,則定點數xq=L0.5*32768J=16384,式中LJ表示下取整。反之,一個用Q=15表示的定點數16384,其浮點數為163幼*2-15=16384/32768=0.5。浮點數轉換為定點數時,為了降低截尾誤差,在取整前可以先加上0.5。
表1.1 Q表示、S表示及數值范圍
Q表示 S表示 十進制數表示范圍
Q15 S0.15 -1≤x≤0.9999695
Q14 S1.14 -2≤x≤1.9999390
Q13 S2.13 -4≤x≤3.9998779
Q12 S3.12 -8≤x≤7.9997559
Q11 S4.11 -16≤x≤15.9995117
Q10 S5.10 -32≤x≤31.9990234
Q9 S6.9 -64≤x≤63.9980469
Q8 S7.8 -128≤x≤127.9960938
Q7 S8.7 -256≤x≤255.9921875
Q6 S9.6 -512≤x≤511.9804375
Q5 S10.5 -1024≤x≤1023.96875
Q4 S11.4 -2048≤x≤2047.9375
Q3 S12.3 -4096≤x≤4095.875
Q2 S13.2 -8192≤x≤8191.75
Q1 S14.1 -16384≤x≤16383.5
Q0 S15.0 -32768≤x≤32767
2 高級語言：從浮點到定點
我們在編寫DSP模擬算法時,為了方便,一般都是采用高級語言(如C語言)來編寫模擬程序。程序中所用的變量一般既有整型數,又有浮點數。如例1.1程序中的變量i是整型數,而pi是浮點數,hamwindow則是浮點數組。
例1.1 256點漢明窗計算
int i;+
float pi=3.14l59;
float hamwindow[256];
for(i=0;i<256;i++) hamwindow[i]=0.54-0.46*cos(2.0*pi*i/255);
如果我們要將上述程序用某種足點DSP芯片來實現,則需將上述程序改寫為DSP芯片的匯編語言程序。為了DSP程序調試的方便及模擬定點DSP實現時的算法性能,在編寫DSP匯編程序之前一般需將高級語言浮點算法改寫為高級語言定點算法。下面我們討論基本算術運算的定點實現方法。
2.1 加法/減法運算的C語言定點摸擬
設浮點加法運算的表達式為：
float x,y,z;
z=x+y;
將浮點加法/減法轉化為定點加法/減法時最重要的一點就是必須保證兩個操作數的定標
temp=x+temp;
z=temp>>(Qx-Qz),若Qx>=Qz
z=temp<<(Qz-Qx),若Qx<=Qz
例1.4結果超過16位的定點加法
設x=l5000,y=20000,則浮點運算值為z=x+y=35000,顯然z>32767,因此
Qx=1,Qy=0,Qz=0,則定點加法為：
x=30000;y=20000;
temp=20000<<1=40000;
temp=temp+x=40000+30000=70000;
z=70000L>>1=35000;
因為z的Q值為0,所以定點值z=35000就是浮點值,這里z是一個長整型數。當加法或加法的結果超過16位表示范圍時,如果程序員事先能夠了解到這種情況,並且需要保持運算精度時,則必須保持32位結果。如果程序中是按照16位數進行運算的,則超過16位實際上就是出現了溢出。如果不采取適當的措施,則數據溢出會導致運算精度的嚴重惡化。一般的定點DSP芯片都沒有溢出保護功能,當溢出保護功能有效時,一旦出現溢出,則累加器ACC的結果為最大的飽和值(上溢為7FFFH,下溢為8001H),從而達到防止溢出引起精度嚴重惡化的目的。
2.2乘法運算的C語言定點模擬
設浮點乘法運算的表達式為：
float x,y,z;
z=xy;
假設經過統計后x的定標值為Qx,y的定標值為Qy,乘積z的定標值為Qz,則
z=xy
zq*2-Qx=xq*yq*2-(Qx+Qy)
zq=(xqyq)2Qz-(Qx+Qy)
所以定點表示的乘法為：
int x,y,z;
long temp;
temp=(long)x;
z=(temp*y)>>(Qx+Qy-Qz);
例1.5定點乘法。
設x=18.4,y=36.8,則浮點運算值為=18.4*36.8=677.12;
根據上節,得Qx=10,Qy=9,Qz=5,所以
x=18841;y=18841;
temp=18841L;
z=(18841L*18841)>>(10+9-5)=354983281L>>14=21666;
因為z的定標值為5,故定點z=21666,即為浮點的z=21666/32=677.08。
2.3除法運算的C語言定點摸擬
設浮點除法運算的表達式為：
float x,y,z;
z=x/y;
假設經過統計后被除數x的定標值為Qx,除數y的定標值為Qy,商z的定標值為Qz,則
z=x/y
zq*2-Qz=(xq*2-Qx)/(yq*2-Qy)
zq=(xq*2(Qz-Qx+Qy))/yq
所以定點表示的除法為：
int x,y,z;
long temp;
temp=(long)x;
z=(temp<<(Qz-Qx+Qy))/y;
例1.6定點除法。
設x=18.4,y=36.8,浮點運算值為z=x/y=18.4/36.8=0.5;
根據上節,得Qx=10,Qy=9,Qz=15;所以有
z=18841,y=18841;
temp=(long)18841;
z=(18841L<<(15-10+9)/18841=3O8690944L/18841=16384;
因為商z的定標值為15,所以定點z=16384,即為浮點z=16384/215=0.5。
2.4程序變量的Q值確定
在前面幾節介紹的例子中,由於x,y,z的值都是已知的,因此從浮點變為定點時Q值很好確定。在實際的DSP應用中,程序中參與運算的都是變量,那么如何確定浮點程序中變量的Q值呢？從前面的分析可以知道,確定變量的Q值實際上就是確定變量的動態范圍,動態范圍確定了,則Q值也就確定了。
設變量的絕對值的最大值為 max ,注意 max 必須小於或等於32767。取一個整數n,使滿足
2n-1< max <2n
則有
2-Q=2-15*2n=2-(15-n)
Q=15-n
例如,某變量的值在-1至+1之間,即 max <1,因此n=0,Q=15-n=15。
既然確定了變量的 max 就可以確定其Q值,那么變量的 max 又是如何確定的呢？一般來說,確定變量的 max 有兩種方法。一種是理論分析法,另一種是統計分析法。
1. 理論分析法
有些變量的動態范圍通過理論分析是可以確定的。例如：
(1)三角函數。y=sin(x)或y=cos(x),由三角函數知識可知, y <=1。
(2)漢明窗。y(n)=0.54一0.46cos[nπn/(N-1)],0<=n<=N-1。因為-1<=cos[2πn/(N-1)]<=1,所以0.08<=y(n)<=1.0。
(3)FIR卷積。y(n)=∑h(k)x(n-k),設∑ h(k) =1.0,且x(n)是模擬信號12位量化值,即有 x(n) <=211,則 y(n) <=211。
(4)理論已經證明,在自相關線性預測編碼(LPC)的程序設計中,反射系數ki滿足下列不等式： ki <1.0,i=1,2,...,p,p為LPC的階數。
2. 統計分析法
對於理論上無法確定范圍的變量,一般采用統計分析的方法來確定其動態范圍。所謂統計分析,就是用足夠多的輸入信號樣值來確定程序中變量的動態范圍,這里輸入信號一方面要有一定的數量,另一方面必須盡可能地涉及各種情況。例如,在語音信號分析中,統計分析時就必須來集足夠多的語音信號樣值,並且在所采集的語音樣值中,應盡可能地包含各種情況。如音量的大小,聲音的種類(男聲、女聲等)。只有這樣,統計出來的結果才能具有典型性。
當然,統計分析畢竟不可能涉及所有可能發生的情況,因此,對統計得出的結果在程序設計時可采取一些保護措施,如適當犧牲一些精度,Q值取比統計值稍大些,使用DSP芯片提供的溢出保護功能等。
2.5浮點至定點變換的C程序舉例
本節我們通過一個例子來說明C程序從浮點變換至定點的方法。這是一個對語音信號(0.3~3.4kHz)進行低通濾波的C語言程序,低通濾波的截止頻率為800Hz,濾波器采用19點的有限沖擊響應FIR濾波。語音信號的采樣頻率為8kHz,每個語音樣值按16位整型數存放在insp.dat文件中。
例1.7語音信號800Hz 19點FIR低通濾波C語言浮點程序。
#include <stdio.h>
const int length=180
void filter(int xin[],int xout[],int n,float h[]);
static float h[19]=
{0.01218354,-0.009012882,-0.02881839,-0.04743239,-0.04584568,
-0.008692503,0.06446265,0.1544655,0.2289794,0.257883,
0.2289794,0.1544655,0.06446265,-0.008692503,-0.04584568,
-0.04743239,-0.02881839,-0.009012882,O.01218354};
static int xl[length+20];
void filter(int xin[],int xout[],int n,float h[])
{
int i,j;
float sum;
for(i=0;i<length;i++)x1[n+i-1]=xin[i];
for(i=0;i＜length;i++)
{
sum=0.0;
for(j=0;j＜n;j++)sum+=h[j]*x1[i-j+n-1];
xout[i]=(int)sum;
for(i=0;i＜(n-l);i++)x1[n-i-2]=xin[length-1-i];
}
void main()
FILE *fp1,*fp2;
int frame,indata[length],outdata[length];
fp1=fopen(insp.dat,"rb");
fp2=fopen(Outsp.dat,"wb");
frame=0;
while(feof(fp1) ==0)
{
frame++;
printf(“frame=％d＼n”,frame);
for(i=0;i＜length;i++)indata[i]=getw(fp1);
filter(indata,outdata,19,h);
for(i=0;i＜length;i++)putw(outdata[i],fp2);
}
fcloseall();
return(0);
}
例1.8語音信號800Hz l9點FIR低通濾波C語言定點程序。
#include <stdio.h>
const int length=180;
void filter (int xin[],int xout[],int n,int h[]);
static int h[19]={399,-296,-945,-1555,-1503,-285,2112,5061,7503,8450,
7503,5061,2112,-285,-1503,-1555,-945,-296,399};
static int x1[length+20];
void filter(int xin[],int xout[],int n,int h[])
int i,j;
long sum;
for(i=0;i＜length;i++)x1[n＋i-111=xin][i];
for(i=0;i＜1ength;i++)
sum=0;
for(j=0;j＜n;j++)sum+=(long)h[j]*x1[i-j＋n-1];
xout[i]=sum>>15;
for(i=0;i＜(n-1);i＋＋)x1[n-i-2]=xin[length-i-1];
}
主程序與浮點的完全一樣。“
3 DSP定點算術運算
定點DSP芯片的數值表示基於2的補碼表示形式。每個16位數用l個符號位、i個整數位和15-i個小數位來表示。因此：
00000010.10100000
表示的值為：
21＋2-1＋2-3=2.625
這個數可用Q8格式(8個小數位)來表示,其表示的數值范圍為-128至＋l27.996,一個Q8定點數的小數精度為1/256=0.004。
雖然特殊情況(如動態范圍和精度要求)必須使用混合表示法。但是,更通常的是全部以Q15格式表示的小數或以Q0格式表示的整數來工作。這一點對於主要是乘法和累加的信號處理算法特別現實,小數乘以小數得小數,整數乘以整數得整數。當然,乘積累加時可能會出現溢出現象,在這種情況下,程序員應當了解數學里面的物理過程以注意可能的溢出情況。下面我們來討論乘法、加法和除法的DSP定點運算,匯編程序以TMS320C25為例。
3.1定點乘法
兩個定點數相乘時可以分為下列三種情況：
1. 小數乘小數
例1.9 Q15*Q15=Q30
0.5*0.5=0.25
0.100000000000000;Q15
* 0.100000000000000;Q15
--------------------------------------------
00.010000000000000000000000000000=0.25;Q30
兩個Q15的小數相乘后得到一個Q30的小數,即有兩個符號位。一般情況下相乘后得到的滿精度數不必全部保留,而只需保留16位單精度數。由於相乘后得到的高16位不滿15位的小數據度,為了達到15位精度,可將乘積左移一位,下面是上述乘法的TMS320C25程序：
LT OP1;OP1=4000H(0.5/Q15)
MPY OP2;oP2=4000H(0.5/Ql5)
PAC
SACH ANS,1;ANS=2000H(0.25/Q15) |
