Bezier曲線原理及實現代碼（c++）

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Bezier曲線原理及實現代碼（c++）

2009-06-30 18:50:09| 分類：數據結構與算法|字號訂閱

一、原理：

貝塞爾曲線於1962年，由法國工程師皮埃爾·貝塞爾（Pierre Bézier）所廣泛發表，他運用貝塞爾曲線來為汽車的主體進行設計。貝塞爾曲線最初由 Paul de Casteljau 於1959年運用 de Casteljau 算法開發，以穩定數值的方法求出貝塞爾曲線。

線性貝塞爾曲線

給定點 P₀、P₁，線性貝塞爾曲線只是一條兩點之間的直線。這條線由下式給出：

$mathbf{B}(t)=mathbf{P}_0 + (mathbf{P}_1-mathbf{P}_0)t=(1-t)mathbf{P}_0 + tmathbf{P}_1 mbox{ , } t in [0,1]$

且其等同於線性插值。

二次方貝塞爾曲線的路徑由給定點 P₀、P₁、P₂ 的函數 B(t) 追蹤：

$mathbf{B}(t) = (1 - t)^{2}mathbf{P}_0 + 2t(1 - t)mathbf{P}_1 + t^{2}mathbf{P}_2 mbox{ , } t in [0,1]$ 。

TrueType 字型就運用了以貝塞爾樣條組成的二次貝塞爾曲線。

P₀、P₁、P₂、P₃ 四個點在平面或在三維空間中定義了三次方貝塞爾曲線。曲線起始於 P₀ 走向 P₁，並從 P₂ 的方向來到 P₃。一般不會經過 P₁ 或 P₂；這兩個點只是在那里提供方向資訊。 P₀ 和 P₁ 之間的間距，決定了曲線在轉而趨進 P₃ 之前，走向 P₂ 方向的“長度有多長”。

曲線的參數形式為：

$mathbf{B}(t)=mathbf{P}_0(1-t)^3+3mathbf{P}_1t(1-t)^2+3mathbf{P}_2t^2(1-t)+mathbf{P}_3t^3 mbox{ , } t in [0,1]$ 。

現代的成象系統，如 PostScript、Asymptote 和 Metafont，運用了以貝塞爾樣條組成的三次貝塞爾曲線，用來描繪曲線輪廓。

一般化

P₀、P₁、…、P_n，其貝塞爾曲線即

$mathbf{B}(t)=sum_{i=0}^n {nchoose i}mathbf{P}_i(1-t)^{n-i}t^i =mathbf{P}_0(1-t)^n+{nchoose 1}mathbf{P}_1(1-t)^{n-1}t+cdots+mathbf{P}_nt^n mbox{ , } t in [0,1]$ 。

例如：

$mathbf{B}(t)=mathbf{P}_0(1-t)^5+5mathbf{P}_1t(1-t)^4+10mathbf{P}_2t^2(1-t)^3+10mathbf{P}_3t^3(1-t)^2+5mathbf{P}_4t^4(1-t)+mathbf{P}_5t^5 mbox{ , } t in [0,1]$ 。

如上公式可如下遞歸表達：用 $mathbf{B}_{mathbf{P}_0mathbf{P}_1ldotsmathbf{P}_n}$ 表示由點 P₀、P₁、…、P_n 所決定的貝塞爾曲線。則

$mathbf{B}(t) = mathbf{B}_{mathbf{P}_0mathbf{P}_1ldotsmathbf{P}_n}(t) = (1-t)mathbf{B}_{mathbf{P}_0mathbf{P}_1ldotsmathbf{P}_{n-1}}(t) + tmathbf{B}_{mathbf{P}_1mathbf{P}_2ldotsmathbf{P}_n}(t)$

用平常話來說，階貝塞爾曲線之間的插值。

一些關於參數曲線的術語，有

$mathbf{B}(t) = sum_{i=0}^n mathbf{P}_imathbf{b}_{i,n}(t),quad tin[0,1]$

即多項式

$mathbf{b}_{i,n}(t) = {nchoose i} t^i (1-t)^{n-i},quad i=0,ldots n$

又稱作 n 階的伯恩斯坦基底多項式，定義 0⁰ = 1。

點 P_i 稱作貝塞爾曲線的控制點。多邊形以帶有線的貝塞爾點連接而成，起始於 P₀並以 P_n 終止，稱作貝塞爾多邊形（或控制多邊形）。貝塞爾多邊形的凸包（convex hull）包含有貝塞爾曲線。

線性貝塞爾曲線函數中的 t 會經過由 P₀ 至P₁ 的 B(t) 所描述的曲線。例如當 t=0.25時，B(t) 即一條由點 P₀ 至 P₁ 路徑的四分之一處。就像由 0 至 1 的連續 t，B(t) 描述一條由 P₀ 至 P₁ 的直線。

為建構二次貝塞爾曲線，可以中介點 Q₀ 和 Q₁ 作為由 0 至 1 的 t：

由 P₀ 至 P₁ 的連續點 Q₀，描述一條線性貝塞爾曲線。
由 P₁ 至 P₂ 的連續點 Q₁，描述一條線性貝塞爾曲線。
由 Q₀ 至 Q₁ 的連續點 B(t)，描述一條二次貝塞爾曲線。

為建構高階曲線，便需要相應更多的中介點。對於三次曲線，可由線性貝塞爾曲線描述的中介點 Q₀、Q₁、Q₂，和由二次曲線描述的點 R₀、R₁ 所建構：

對於四次曲線，可由線性貝塞爾曲線描述的中介點 Q₀、Q₁、Q₂、Q₃，由二次貝塞爾曲線描述的點 R₀、R₁、R₂，和由三次貝塞爾曲線描述的點 S₀、S₁ 所建構：

P(t)=(1-t)P₀+tP₁ , 。
矩陣表示為：
　　，。
P(t)=(1-t)²P₀+2t(1-t)P₁+t²P₂, 。
矩陣表示為：
　　 Bezier曲線原理及實現代碼（c++） - mappy - mappy 天下，。

　　P(t)=(1-t)³P₀+3t(1-t)²P₁+3t²(1-t)P₂+t³P₃
矩陣表示為：
Bezier曲線原理及實現代碼（c++） - mappy - mappy 天下，。
（6－3－2）
，。
在（6－3－2）式中，Mⁿ⁺¹是一個n＋1階矩陣，稱為n次Bezier矩陣。
（6－3－3）
。
其中，

利用（6－3－3）式，我們可以得到任意次Bezier矩陣的顯式表示，例如4次和5次Bezier矩陣為：
Bezier曲線原理及實現代碼（c++） - mappy - mappy 天下，

可以證明，n次Bezier矩陣還可以表示為遞推的形式：
（6－3－4）

二、算法（c++）

工程目錄是:Win32App
vc6.0

#include<windows.h>
#include<stdlib.h>
#include<time.h>
#define NUM 10

LRESULT CALLBACK Winproc(HWND,UINT,WPARAM,LPARAM);
int WINAPI WinMain(HINSTANCE hInstance,HINSTANCE hPrevInstanc,LPSTR lpCmdLine,int nShowCmd)
{
    MSG msg;
    static TCHAR szClassName[] = TEXT("::Bezier樣條計算公式由法國雷諾汽車公司的工程師Pierm Bezier於六十年代提出");
    HWND hwnd;
    WNDCLASS wc;
    wc.cbClsExtra =0;
    wc.cbWndExtra =0;
    wc.hbrBackground = (HBRUSH)GetStockObject(WHITE_BRUSH);
    wc.hCursor = LoadCursor(NULL,IDC_ARROW);
    wc.hIcon = LoadIcon(NULL,IDI_APPLICATION);
    wc.hInstance = hInstance;
    wc.lpfnWndProc = Winproc;
    wc.lpszClassName = szClassName;
    wc.lpszMenuName = NULL;
    wc.style = CS_HREDRAW|CS_VREDRAW;

    if(!RegisterClass(&wc))
    {
        MessageBox(NULL,TEXT("注冊失敗"),TEXT("警告框"),MB_ICONERROR);
        return 0;
    }
    hwnd = CreateWindow(szClassName,szClassName,
                        WS_OVERLAPPEDWINDOW,
                        CW_USEDEFAULT,CW_USEDEFAULT,
                        CW_USEDEFAULT,CW_USEDEFAULT,
                        NULL,NULL,hInstance,NULL);

    ShowWindow(hwnd,SW_SHOWMAXIMIZED);
    UpdateWindow(hwnd);

    while(GetMessage(&msg,NULL,0,0))
    {
        TranslateMessage(&msg);
        DispatchMessage(&msg);
    }
    return msg.wParam;
}

LRESULT CALLBACK Winproc(HWND hwnd,UINT message, WPARAM wparam,LPARAM lparam)
{
  PAINTSTRUCT ps;
  HDC hdc;
  static POINT pt[NUM];
  TEXTMETRIC tm;
  static int cxClient,cyClient;
  HPEN hpen;
  int i,j,k,n,t;

  switch(message)
  {
  case WM_CREATE:
      static int cxchar;
      hdc = GetDC(hwnd);
      GetTextMetrics(hdc,&tm);
      cxchar = tm.tmAveCharWidth;
      ReleaseDC(hwnd,hdc);

  case WM_SIZE:
       cxClient = LOWORD(lparam);
      cyClient = HIWORD(lparam);
      return 0;
  case WM_PAINT:
       hdc = GetDC(hwnd);
       srand(time(0));

       Rectangle(hdc,0,0,cxClient,cyClient);
      for(i=0; i<500; i++)
          {
            SelectObject(hdc,GetStockObject(WHITE_PEN));
            PolyBezier(hdc,pt,NUM);
            for(j=0; j<NUM; j++)
            {
                pt[j].x = rand()%cxClient;
                pt[j].y = rand()%cyClient;
            }
            hpen = CreatePen(PS_INSIDEFRAME,3,RGB(rand()%256,rand()%256,rand()%256));
             DeleteObject(SelectObject(hdc,hpen));
            PolyBezier(hdc,pt,NUM);
            for(k=0; k<50000000;k++);
          }
      for(i=0; i<100;i++)
      {
        Ellipse(hdc,rand()%cxClient,rand()%cyClient,rand()%cxClient,rand()%cyClient);

        Pie(hdc,j=rand()%cxClient,k=rand()%cyClient,n=rand()%cxClient,t=rand()%cyClient,rand()%cxClient,rand()%cyClient,rand()%cxClient,rand()%cyClient) ;

      }
       if((n=(n+j)/2)>cxchar*20) n=cxchar*20;
        SetTextColor(hdc,RGB(rand()%256,rand()%256,rand()%256));
        TextOut(hdc,n/2,(t+k)/2,TEXT("瑾以此向Pierm Bezier致敬!"),lstrlen(TEXT("瑾以此向Pierm Bezier致敬!")));
        ReleaseDC(hwnd,hdc);
          DeleteObject(hpen);
          ValidateRect(hwnd,NULL);
   return 0;

  case WM_DESTROY:
      PostQuitMessage(0);
      return 0;
  }
  return DefWindowProc(hwnd,message,wparam,lparam);
}

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