条件概率
已知事件 \(B\) 发生的条件下事件 \(A\) 发生的概率，记作 \(P(A|B)\) 。
条件概率公式：
注意：\(P(A|B)\) 和 \(P(B|A)\) 意义不一样。
栗题
题目大意
甲，乙两地下雨的概率分别为 \(20\%\) 和 \(18\%\) ，两地同时下雨的概率为 \(12\%\)
两地同时下雨的概率为 \(12 \%\) ，求甲地下雨时，乙地也下雨的概率。
solution
\(P(A) = 20\%, P(B) = 18\%, P(A\cap B) = 12\%\)
套公式算就好了。
乘法公式
乘法公式
由条件概率的计算公式 \(P(B|A) = \frac{P(BA)}{P(A)}\) 得：
栗题
题目大意
某人忘记了电话号码的最后一位，求他尝试了两次都不对的概率。
solution 1
设 \(A\) 表示第一次没有拨对，\(B\) 表示第二次没有拨对。
显然 \(P(A) = \frac{9}{10}\) ，\(P(B|A) = \frac{8}{9}\) ，那么 \(P(AB) = P(A)P(B|A)\)
\(P(AB) = \frac{4}{5}\)
solution 2
可以用排列组合来求解：
问题可以转化为用 \(10\) 个数字排成数字不重复的两位数，求某个特定数字不出现的概率。
答案就是 \(\frac{A_9^2}{A_{10}^{2}} = \frac{4}{5}\)
全概率公式
栗题
甲乙两个人抽奖，甲先抽，问乙中奖的概率。
solution
设 \(A\) 表示甲中奖的概率，\(B\) 表示乙中奖的概率。
\(P(B) = P(AB + \overline{A}B) = P(BA) + P(\overline{A}B) = P(A)P(B|A) + P(\overline{A})P(B|\overline{A})\)
其中
为全概率公式。
应用
题目大意
有二十个人，抽二十张签，不放回，第一个人抽到 \(1\) 号签和后面的人抽到 \(1\) 号签的概率相同么。
solution
设 \(A_i\) 表示第 \(i\) 个人抽到 1 号，显然 \(P(A_1) = \frac{1}{20}, P(\overline{A_1}) = \frac{19}{20}\)
\(P(A_2|A_1) = 0, P(A_2 | \overline A_1) = \frac{1}{19}\)
那么
所以是公平的。
推广
定理 若样本空间 \(\Omega\) 中的事件 \(A_1, A_2 \dots A_n\) 满足：
（1）任意两个事件均互斥，即 \(A_i A_j = \empty, i, j = 1, 2, \dots n, i\neq j\)
（2）\(A_1 + A_2 + \dots + A_n = \Omega\)
（3）\(P(A_i) > 0, i = 1, 2, \dots,n\)
则对 \(\Omega\) 中的任意事件 \(B\) ，都有 \(B = BA_1 + BA_2 + \dots BA_n\)， 且
该公式也叫全概率公式。
贝叶斯公式
已知 \(P(A), P(B|A), P(B|\overline A)\) 求 \(P(A|B)\)
由全概率公式和条件概率得到：
\(P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)}\)
\(P(AB) = P(BA) = P(A)\times P(B|A)\)
\(P(B) = P(A)P(B|A) + P(\overline A) P(B|\overline A)\)
然后就得到了贝叶斯公式
扩展
若样本空间 \(\Omega\) 中的事件 \(A_1, A_2 \dots A_n\) 满足
（1）任意两个事件互斥，即 \(A_iA_j = \empty, i, j = 1, 2, n, i\neq j\)
（2）\(A_1 + A_2 + \dots + A_n = \Omega\)
（3）\(1> P(A_i) > 0, i = 1, 2, \dots, n\)
则对 \(\Omega\) 中任意概率非零的事件 \(B\) ，有